Основні властивості основних елементарних функцій. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки

1) Область визначення функції і область значень функції.

Область визначення функції - це множина всіх допустимих дійсних значень аргументу x(змінної x), При яких функція y = f (x)визначена. Область значень функції - це множина всіх дійсних значень y, Які приймає функція.

У елементарної математики вивчаються функції тільки на множині дійсних чисел.

2) Нулі функції.

Нуль функції - таке значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю.

3) Проміжки знакопостоянства функції.

Проміжки знакопостоянства функції - такі безлічі значень аргументу, на яких значення функції тільки позитивні або тільки негативні.

4) Монотонність функції.

Зростаюча функція (в деякому проміжку) - функція, у якій більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

Спадна функція (в деякому проміжку) - функція, у якій більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

5) Парність (непарність) функції.

Парна функція - функція, у якій область визначення симетрична відносно початку координат і для будь-якого хз області визначення виконується рівність f (-x) = f (x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Непарна функція - функція, у якій область визначення симетрична відносно початку координат і для будь-якого хз області визначення справедливо рівність f (-x) = - f (x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

6) Обмежена і необмежена функції.

Функція називається обмеженою, якщо існує таке позитивне число M, що | f (x) | ≤ M для всіх значень x. Якщо такого числа не існує, то функція - необмежена.

7) проводить періодичні перевірки функції.

Функція f (x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f (x + T) = f (x). Таке найменше число називається періодом функції. Всі тригонометричні функції є періодичними. (Тригонометричні формули).

19. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Застосування функ-цій в економіці.

Основні елементарні функції. Їх властивості і графіки

1. Лінійна функція.

лінійною функцією називається функція виду, де х - змінна, а й b - дійсні числа.

число аназивають кутовим коефіцієнтом прямої, він дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до позитивного напрямку осі абсцис. Графіком лінійної функції є пряма лінія. Вона визначається двома точками.

Властивості лінійної функції

1. Область визначення - множина всіх дійсних чисел: Д (y) = R

2. Безліч значень - безліч всіх дійсних чисел: Е (у) = R

3. Функція приймає нульове значення при або.

4. Функція зростає (спадає) на всій області визначення.

5. Лінійна функція безперервна на всій області визначення, дифференцируемая і.

2. Квадратична функція.

Функція виду, де х - змінна, коефіцієнти а, b, с - дійсні числа, називається квадратичної.

Розглядаючи функції комплексної змінної, Лиувилль визначив елементарні функції дещо ширше. елементарна функція yзмінної x- аналітична функція, яка може бути представлена як алгебраїчна функція від xі функцій , Причому є логарифмом або експонентою від деякої алгебраїчної функції g 1 від x .

Наприклад, sin ( x) - алгебраїчна функція від e ix .

Без обмеження спільності розгляду, можна вважати функції алгебраїчно незалежні, тобто якщо рівняння алгебри виконується для всіх x, То всі коефіцієнти полінома дорівнюють нулю.

Диференціювання елементарних функцій

де z 1 "(z) Дорівнює або g 1 " / g 1 або z 1 g 1 "в залежності від того, логарифм чи z 1 або експонента і т. Д. На практиці зручно використовувати таблицю похідних.

Інтегрування елементарних функцій

Теорема Ліувілля є основою для створення алгоритмів символьного інтегрування елементарних функцій, що реалізуються, напр., В

обчислення меж

Теорія Ліувілля не поширюється на обчислення меж. Чи не відомо, чи існує алгоритм, який за заданою елементарної формулою послідовності дає відповідь, чи має вона межа чи ні. Наприклад, відкрите питання про те, чи сходиться послідовність.

література

J. Liouville. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
J.F. Ritt. Integration in Finite Terms. N.-Y., 1949 // http://lib.homelinux.org
А. Г. Хованський. Топологічна теорія Галуа: розв'язність і нерозв'язність рівнянь в кінцевому виглядіГл. 1. M, 2007

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 року.

елементарне збудження
елементарний результат

Дивитися що таке "Елементарна функція" в інших словниках:

елементарна функція- Функція, яка, якщо її розділити на більш дрібні функції, не зможе бути однозначно визначена в ієрархії цифрової передачі. Отже, з точки зору мережі вона є неподільною (МСЕ T G.806). Тематики електрозв'язок, основні поняття EN adaptation functionA ... Довідник технічного перекладача

функція взаємодії між рівнями мережі- Елементарна функція, яка забезпечує взаємодію характеристичної інформації між двома рівнями мережі. (МСЕ T G.806). Тематики електрозв'язок, основні поняття EN layer ... ... Довідник технічного перекладача

Основні елементарні функції, властиві їм властивості і відповідні графіки - одні з азів математичних знань, схожих за ступенем важливості з таблицею множення. Елементарні функції є базою, опорою для вивчення всіх теоретичних питань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Стаття нижче дає ключовий матеріал по темі основних елементарних функцій. Ми введемо терміни, дамо їм визначення; детально вивчимо кожен вид елементарних функцій, розберемо їх властивості.

Виділяють наступні види основних елементарних функцій:

визначення 1

постійна функція (константа);
корінь n-го ступеня;
статечна функція;
показова функція;
логарифмічна функція;
тригонометричні функції;
братньою тригонометричні функції.

Постійна функція визначається формулою: y = C (C - якесь дійсне число) і має також назву: константа. Ця функція визначає відповідність будь-якого дійсного значення незалежної змінної x одного і того ж значення змінної y - значення C.

Графік константи - це пряма, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку, що має координати (0, С). Для наочності наведемо графіки постійних функцій y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (на кресленні позначений чорним, червоним і синім кольорами відповідно).

визначення 2

Дана елементарна функція визначається формулою y = x n (n - натуральне числобільше одиниці).

Розглянемо дві варіації функції.

Корінь n-го ступеня, n - парне число

Для наочності зазначимо креслення, на якому зображені графіки таких функцій: y = x, y = x 4 і y = x 8. Ці функції відзначені кольором: чорний, червоний і синій відповідно.

Схожий вид у графіків функції парного степеня при інших значеннях показника.

визначення 3

Властивості функції корінь n-го ступеня, n - парне число

область визначення - безліч всіх невід'ємних дійсних чисел [0, + ∞);
коли x = 0, функція y = x n має значення, рівне нулю;
дана функція-функціязагального вигляду (не є ні парною, ні непарною);
область значень: [0, + ∞);
дана функція y = x n при парних показниках кореня зростає на всій області визначення;
функція має опуклістю з напрямком вгору на всій області визначення;
відсутні точки перегину;
асимптоти відсутні;
графік функції при парних n проходить через точки (0; 0) і (1; 1).

Корінь n-го ступеня, n - непарне число

Така функція визначена на всій множині дійсних чисел. Для наочності розглянемо графіки функцій y = x 3, y = x 5 і x 9. На кресленні вони позначені кольорами: чорний, червоний і синій кольори кривих відповідно.

Інші непарні значення показника кореня функції y = x n дадуть графік аналогічного виду.

визначення 4

Властивості функції корінь n-го ступеня, n - непарне число

область визначення - безліч всіх дійсних чисел;
дана функція - непарна;
область значень - безліч всіх дійсних чисел;
функція y = x n при непарних показниках кореня зростає на всій області визначення;
функція має увігнутість на проміжку (- ∞; 0] і опуклість на проміжку [0, + ∞);
точка перегину має координати (0; 0);
асимптоти відсутні;
графік функції при непарних n проходить через точки (- 1; - 1), (0; 0) і (1; 1).

Степенева функція

визначення 5

Степенева функція визначається формулою y = x a.

Вид графіків і властивості функції залежать від значення показника ступеня.

коли статечна функція має цілий показник a, то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний або непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
показник ступеня може бути дробовим або ірраціональним - в залежності від цього також варіюється вид графіків і властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, задавши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо ступеневу функцію y = x a, коли a - непарне позитивне число, наприклад, a = 1, 3, 5 ...

Для наочності зазначимо графіки таких статечних функцій: y = x (Чорний колір графіка), y = x 3 (синій колір графіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x 7 (зелений колір графіка). Коли a = 1, отримуємо лінійну функцію y = x.

визначення 6

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - непарний позитивний

функція є зростаючою при x ∈ (- ∞; + ∞);
функція має опуклість при x ∈ (- ∞; 0] і увігнутість при x ∈ [0; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
асимптоти відсутні;
точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо ступеневу функцію y = x a, коли a - парне позитивне число, наприклад, a = 2, 4, 6 ...

Для наочності зазначимо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2, отримуємо квадратичну функцію, графік якої - квадратична парабола.

визначення 7

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - парний позитивний:

область визначення: x ∈ (- ∞; + ∞);
спадної при x ∈ (- ∞; 0];
функція має увігнутість при x ∈ (- ∞; + ∞);
окуляри перегину відсутні;
асимптоти відсутні;
точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведені приклади графіків статечної функції y = x a, коли a - непарне негативне число: y = x - 9 (чорний колір графіка); y = x - 5 (синій колір графіка); y = x - 3 (червоний колір графіка); y = x - 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1, отримуємо зворотний пропорційність, графік якої - гіпербола.

визначення 8

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - непарний негативний:

Коли х = 0, отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, .... Таким чином, пряма х = 0 - вертикальна асимптота;

область значень: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
функція є непарною, оскільки y (- x) = - y (x);
функція є спадною при x ∈ - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
функція має опуклість при x ∈ (- ∞; 0) і увігнутість при x ∈ (0; + ∞);
точки перегину відсутні;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .

точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведені приклади графіків статечної функції y = x a, коли a - парне негативне число: y = x - 8 (чорний колір графіка); y = x - 4 (синій колір графіка); y = x - 2 (червоний колір графіка).

визначення 9

Властивості степеневої функції, коли показник ступеня - парний негативний:

область визначення: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);

Коли х = 0, отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, .... Таким чином, пряма х = 0 - вертикальна асимптота;

функція є парною, оскільки y (- x) = y (x);
функція є зростаючою при x ∈ (- ∞; 0) і спадної при x ∈ 0; + ∞;
функція має увігнутість при x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли a = - 2, - 4, - 6,. . . .

точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на такий аспект: у разі, коли a - позитивна дріб з непарним знаменником, деякі автори беруть за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞, обумовлюючи при цьому, що показник a - нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри і початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник - дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми притримає саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дробовими позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо ступеневу функцію y = x a, коли показник ступеня - раціональне або ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y = x a, коли a = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 1 3 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

визначення 10

Властивості степеневої функції при 0< a < 1:

область значень: y ∈ [0; + ∞);
функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;

Розберемо ступеневу функцію y = x a, коли показник ступеня - нецілим раціональне або ірраціональне число за умови, що a> 1.

Проілюструємо графіками ступеневу функцію y = x a в заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня а за умови a> 1 дадуть схожий вид графіка.

визначення 11

Властивості степеневої функції при a> 1:

область визначення: x ∈ [0; + ∞);
область значень: y ∈ [0; + ∞);
дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
функція має увігнутість при x ∈ (0; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;
точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a - негативна дріб з непарним знаменником, в роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку - інтервал - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a - нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалівз алгебри і початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дробовими негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему і розбираємо ступеневу функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступний функцій: y = x - 5 6, y = x - 2, 3, y = x посилання - 1 2 + 2, y = x - 1 | 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

визначення 12

Властивості степеневої функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

область значень: y ∈ 0; + ∞;
дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (чорний, червоний, синій, зелений кольорикривих відповідно).

визначення 13

Властивості степеневої функції при a< - 1:

область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

область значень: y ∈ (0; + ∞);
дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
точка проходження функції: (1; 1).

Коли a = 0 і х ≠ 0, отримаємо функцію y = x 0 = 1, визначальну пряму, з якої виключена точка (0; 1) (умовилися, що висловом 0 0 не надаватиме ніякого значення).

Показова функція має вигляд y = a x, де а> 0 і а ≠ 1, і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи із значення підстави a. Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли підстава показовою функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладом послужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) і a = 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний же вид матимуть графіки показовою функції при інших значеннях підстави за умови 0< a < 1 .

визначення 14

Властивості показовою функції, коли підстава менше одиниці:

область значень: y ∈ (0; + ∞);
дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
показова функція, у якій підстава менше одиниці, є спадною на всій області визначення;
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінної x, що прагне до + ∞;

Тепер розглянемо випадок, коли підстава показовою функції більше, ніж одиниця (а> 1).

Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) і y = e x (червоний колір графіка).

Інші значення підстави, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показовою функції.

визначення 15

Властивості показовою функції, коли основа більше одиниці:

область визначення - все безліч дійсних чисел;
область значень: y ∈ (0; + ∞);
дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
показова функція, у якій підстава більше одиниці, є зростаючою при x ∈ - ∞; + ∞;
функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
точки перегину відсутні;
горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінної x, що прагне до - ∞;
точка проходження функції: (0; 1).

Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x), де a> 0, a ≠ 1.

Така функція визначена тільки при позитивних значенняхаргументу: при x ∈ 0; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення підстави а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення підстави, не великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли підстава менше одиниці:

область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля справа, значення функції прагнуть до + ∞;
область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
логарифмічна
функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли підстава логарифмічною функції більше одиниці: а> 1 . На кресленні нижче -Графіка логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій і червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення підстави більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більше одиниці:

область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля справа, значення функції прагнуть до - ∞;
область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
дана функція - функція загального вигляду (не є ні непарною, ні парною);
логарифмічна функція є зростаючою при x ∈ 0; + ∞;
функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
точки перегину відсутні;
асимптоти відсутні;
точка проходження функції: (1; 0).

Тригонометричні функції - це синус, косинус, тангенс і котангенс. Розберемо властивості кожної з них і відповідні графіки.

Загалом для всіх тригонометричних функцій характерно властивість періодичності, тобто коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f (x + T) = f (x) (T - період). Таким чином, в списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт «найменший позитивний період». Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, при яких відповідна функція звертається в нуль.

Функція синус: y = sin (х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

визначення 18

Властивості функції синус:

область визначення: все безліч дійсних чисел x ∈ - ∞; + ∞;
функція звертається в нуль, коли x = π · k, де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z і спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ Z;
асимптоти відсутні.

Функція косинус: y = cos (х)

Графік цієї функції називається косинусоид.

визначення 19

Властивості функції косинус:

область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
найменший позитивний період: Т = 2 π;
область значень: y ∈ - 1; 1;
дана функція - парна, оскільки y (- x) = y (x);
функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ Z;
функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1, k ∈ Z і локальні мінімуми в точках π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
асимптоти відсутні.

Функція тангенс: y = t g (х)

Графік цієї функції називається тангенсоіда.

визначення 20

Властивості функції тангенс:

область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
Поведінка функції тангенс на кордоні області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞, lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞. Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z - вертикальні асимптоти;
функція звертається в нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклою при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

Функція котангенс: y = c t g (х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

визначення 21

Властивості функції котангенс:

область визначення: x ∈ (π · k; π + π · k), де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенс на кордоні області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞. Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z - вертикальні асимптоти;

найменший позитивний період: Т = π;
функція звертається в нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);
область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k; π 2 + π · k], k ∈ Z і опуклою при x ∈ [- π 2 + π · k; π · k), k ∈ Z;
точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
похилі і горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції - це арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Найчастіше, в зв'язку з наявністю приставки «арк» в назві, зворотні тригонометричні функції називають аркфункцій .

Функція арксинус: y = a r c sin (х)

визначення 22

Властивості функції арксинус:

дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
точки перегину мають координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
асимптоти відсутні.

Функція арккосинус: y = a r c cos (х)

визначення 23

Властивості функції арккосинус:

область визначення: x ∈ - 1; 1;
область значень: y ∈ 0; π;
дана функція - загального вигляду (ні парна, ні непарна);
функція є спадною на всій області визначення;
функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
точки перегину мають координати 0; π 2;
асимптоти відсутні.

Функція арктангенс: y = a r c t g (х)

визначення 24

Властивості функції арктангенс:

область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
область значень: y ∈ - π 2; π 2;
дана функція - непарна, оскільки y (- x) = - y (x);
функція є зростаючою на всій області визначення;
функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞; 0] і опуклість при x ∈ [0; + ∞);
точка перегину має координати (0; 0), вона ж - нуль функції;
горизонтальні асимптоти - прямі y = - π 2 при x → - ∞ і y = π 2 при x → + ∞ (на малюнку асимптоти - це лінії зеленого кольору).

Функція арккотангенс: y = a r c c t g (х)

визначення 25

Властивості функції арккотангенс:

область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
область значень: y ∈ (0; π);
дана функція - загального вигляду;
функція є спадною на всій області визначення;
функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞; 0];
точка перегину має координати 0; π 2;
горизонтальні асимптоти - прямі y = π при x → - ∞ (на кресленні - лінія зеленого кольору) і y = 0 при x → + ∞.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Розділ містить довідковий матеріал з основних елементарних функцій і їх властивостей. Наводиться класифікація елементарних функцій. Нижче наведені посилання на підрозділи, в яких розглядаються властивості конкретних функцій - графіки, формули, похідні, первісні (інтеграли), розкладання в ряди, вираження через комплексні змінні.

зміст

Сторінки з довідковим матеріалом по елементарних функцій

Класифікація елементарних функцій

алгебраїчна функція- це функція, яка задовольняє рівняння:
,
де - многочлен від залежної змінної y і незалежної змінної x. Його можна записати у вигляді:
,
де - многочлени.

Алгебраїчні функції поділяються на багаточлени (цілі раціональні функції), раціональні функції і ірраціональні функції.

Ціла раціональна функція, Яка також називається многочленомабо полиномом, Виходить з змінної x і кінцевого числа чисел за допомогою арифметичних дій додавання (віднімання) і множення. Після розкриття дужок, многочлен приводиться до канонічного вигляду:
.

Дрібно-раціональна функція, або просто раціональна функція, Виходить з змінної x і кінцевого числа чисел за допомогою арифметичних дій додавання (віднімання), множення і ділення. Раціональну функцію можна привести до виду
,
де і - многочлени.

ірраціональна функція- це алгебраїчна функція, яка не є раціональною. Як правило, під ірраціональної функцією розуміють коріння і їх композиції з раціональними функціями. Корінь ступеня n визначається як рішення рівняння
.
Він позначається так:
.

трансцендентними функціяминазиваються неалгебраїчні функції. Це показові, тригонометричні, гіперболічні і зворотні до них функції.

Огляд основних елементарних функцій

Всі елементарні функції можна представити у вигляді кінцевого числа операцій додавання, віднімання, множення і ділення, вироблених над виразом вигляду:
z t.
Зворотні функції можуть виражатися також через логарифми. Нижче перераховані основні елементарні функції.

Степенева функція :
y (x) = x p,
де p - показник ступеня. Вона залежить від підстави ступеня x.
Зворотною до статечної функції є також статечна функція:
.
При цілому позитивне значення показника p вона є многочленом. При цілому значенні p - раціональною функцією. При раціональному значенні - ірраціональної функцією.

трансцендентні функції

показова функція :
y (x) = a x,
де a - підстава ступеня. Вона залежить від показника ступеня x.
Зворотній функція - логарифмпо підставі a:
x = log a y.

Експонента, е в ступені х :
y (x) = e x,
Це показова функція, похідна якої дорівнює самій функції:
.
Підставою ступеня експоненти є число e:
≈ 2,718281828459045... .
Зворотній функція - натуральний логарифм- логарифм за основою числа e:
x = ln y ≡ log e y.

тригонометричні функції :
синус : ;
косинус : ;
тангенс : ;
котангенс : ;
Тут i - уявна одиниця, i 2 = -1.

Зворотні тригонометричні функції :
Арксинус: x = arcsin y, ;
Арккосинус: x = arccos y, ;
Арктангенс: x = arctg y, ;
Арккотангенс: x = arcctg y, .