Формула висоти прямокутного трикутника опущеною на гіпотенузу. Прямокутний трикутник

Трикутники.

Основні поняття.

трикутник- це фігура, що складається з трьох відрізків і трьох точок, які не лежать на одній прямій.

відрізки називаються сторонами, А точки - вершинами.

сума кутівтрикутника дорівнює 180 º.

Висота трикутника.

Висота трикутника- це перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.

У гострокутна трикутнику висота міститься всередині трикутника (рис.1).

У прямокутному трикутнику катети є висотами трикутника (рис.2).

У тупоугольного трикутнику висота проходить поза трикутником (рис.3).

Властивості висоти трикутника:

Бісектриса трикутника.

бісектриса трикутника- це відрізок, який ділить кут вершини навпіл і з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні (рис.5).

Властивості бісектриси:

Медіана трикутника.

медіана трикутника- це відрізок, що з'єднує вершину з серединою протилежної сторони (рис.9).

Середня лінія трикутника.

Середня лінія трикутника- це відрізок, що з'єднує середини двох його сторін (рис.10).

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині

Зовнішній кут трикутника.

зовнішній куттрикутника дорівнює сумі двох несуміжних внутрішніх кутів (рис.11).

Зовнішній кут трикутника більше будь-якого несуміжних кута.

Прямокутний трикутник.

Прямокутний трикутник- це трикутник, у якого є прямий кут (рис.12).

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куті, називається гипотенузой.

Дві інші сторони називаються катетами.

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику.

1) У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, утворює три подібних трикутника: ABC, ACH і HCB (рис.14). Відповідно, кути, утворені висотою, рівні кутах А і В.

рис.14

Рівнобедрений трикутник.

Рівнобедрений трикутник- це трикутник, у якого дві сторони рівні (рис.13).

Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, А третя - підставоютрикутника.

У трикутник кути при основі рівні. (В нашому трикутнику кут А дорівнює куту C).

У трикутник медіана, проведена до основи, є одночасно і бісектрисою, і висотою трикутника.

Рівносторонній трикутник.

Рівносторонній трикутник - це трикутник, у якого всі сторони рівні (рис.14).

Властивості рівностороннього трикутника:

Чудові властивості трикутників.

У трикутників є оригінальні властивості, які допоможуть вам успішно вирішувати завдання, пов'язані з цими фігурами. Деякі з цих властивостей викладені вище. Але повторюємо їх ще раз, додавши до них кілька інших чудових особливостей:

Ознаки рівності трикутників.

Перша ознака рівності: Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності: Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють стороні і прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності: Якщо три сторони одного трикутника рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Нерівність трикутника.

У будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін.

Теорема Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площа трикутника.

1) Площа трикутника дорівнює половині твори його боку на висоту, проведену до цієї сторони:

ah
S = ——
2

2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Трикутник, описаний близько окружності.

Коло називається вписаною в трикутник, якщо вона стосується всіх його сторін (рис.16 а).

Трикутник, вписаний в коло.

Трикутник називається вписаним в коло, якщо він стосується її всіма вершинами (рис.17 a).

Синус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника (рис.18).

синусгострого кута x протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sinx.

косинусгострого кута xпрямокутного трикутника - це відношення прилеглогокатета до гіпотенузи.
Позначається так: cos x.

тангенсгострого кута x- це відношення протилежного катета до прилеглого катета.
Позначається так: tgx.

котангенсгострого кута x- це відношення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctgx.

Правила:

Катет, протилежні кутку x, Дорівнює добутку гіпотенузи на sin x:

b = c· sin x

Катет, прилеглий до кута x, Дорівнює добутку гіпотенузи на cos x:

a = c· cos x

Катет, протилежний куту x, Дорівнює добутку другого катета на tg x:

b = a· tg x

Катет, прилеглий до кута x, Дорівнює добутку другого катета на ctg x:

a = b· ctg x.

Для будь-якого гострого кута x:

sin (90 ° - x) = Cos x

cos (90 ° - x) = Sin x

Насправді все зовсім не так страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс потрібно дивитися в статті. Але дуже не хочеться, правда? Чи можемо порадувати: для вирішення завдань про прямокутний трикутник можна просто заповнити наступні прості речі:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто протилежні (для кута) катет? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кута? Звичайно ж, катет. Значить, для кута катет - прилегла, і

А тепер, увага! Подивися, що у нас вийшло:

Бачиш, як здорово:

Тепер перейдемо до тангенсу і котангенс.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежними, звичайно - він «лежить» навпроти кута. А катет? Прилягає до кута. Значить, що у нас вийшло?

Бачиш, чисельник і знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і зробили обмін:

резюме

Давай коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутному трикутнику - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети і гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок - освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи замислювався ти, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай зробимо, як стародавні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його боку на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо відмічені точки

Тут ми, правда ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому ж дорівнює площа більшого квадрата?

Правильно,.

А площа меншого?

Звісно, ​​.

Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузи.

Що вийшло? Два прямокутники. Значить, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

перетворимо:

Ось і побували ми Пифагором - довели його теорему древнім способом.

Прямокутний трикутник і тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються наступні співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. По двох катетам

II. За катету і гіпотенузі

III. За гіпотенузі і гострому куту

IV. За катету і гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

Те ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, Незважаючи на те, що мають по одному однаковому гострого кута.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежними.

Ти помітив, чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників?

Зазирни в тему «і зверни увагу на те, що для рівності« рядових »трикутників потрібно рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут між ними, два кута і сторона між ними або три сторони.

А ось для рівності прямокутних трикутників досить усього двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така ж ситуація і з ознаками подібності прямокутних трикутників.

Ознаки подібності прямокутних трикутників

I. За гострого кута

II. По двох катетам

III. За катету і гіпотенузі

Медіана в прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку - точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивніше, так це те, що вірно і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є:, тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівні. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всіх трьох вершин трикутника рівні, і це - ЦЕНТР описаного кола. Значить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того ...».

Подивимося на і.

Але у подібних трикутників всі кути рівні!

Те ж саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цього «потрійного» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію і отримуємо першу формулу "Висота в прямокутному трикутнику":

Ну ось, тепер, застосовуючи і комбінуючи ці знання з іншими, ти вирішиш будь-яке завдання з прямокутним трикутником!

Отже, можна застосувати прикладу:.

Що тепер буде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати і застосовувати ту, яку зручніше.

Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:.

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• за двома катетам:
• по катету і гіпотенузі: або
• по катету і прилеглому гострого кута: або
• по катету і протилежного гострого кута: або
• по гіпотенузі і гострому куті: або.

Ознаки подібності прямокутних трикутників:

• одному гострого кута: або
• з пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета і гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного:.

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи:.

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:

Властивість: 1.У будь-якому прямокутному трикутнику, висота, опущена з прямого кута (на гіпотенузу), ділить прямокутний трикутник, на три подібних трикутника.

Властивість: 2.Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює середньому геометричному проекцій катетів на гіпотенузу (або середньому геометричному тих відрізків на які висота розбиває гіпотенузу).

Властивість: 3.Катет дорівнює середньому геометричному гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу.

Властивість: 4.Катет проти кута в 30 градусів дорівнює половині гіпотенузи.

Формула 1.

Формула 2., Де гіпотенуза; , Катети.

Властивість: 5.У прямокутному трикутнику медіана проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині і дорівнює радіусу описаного кола.

Властивість: 6. Залежність між сторонами і кутами прямокутного трикутника:

44. Теорема косинусів. Наслідки: зв'язок між діагоналями і сторонами паралелограма; визначення виду трикутника; формула для обчислення довжини медіани трикутника; обчислення косинуса кута трикутника.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Клас. Програма колоквіуму основи планіметрії

Властивість суміжних кутів .. визначення два кута суміжні якщо одна сторона у них загальна в дві інші утворюють пряму лінію ..

Якщо Вам потрібно додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що будемо робити з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним ля Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Прямокутний трикутник- це трикутник, у якого один з кутів - прямий, тобто дорівнює 90 градусам.

• Сторона, протилежна прямого кута називається гіпотенузою (на малюнку позначена як cабо AB)
• Сторона, що прилягає до прямого кута, називається катетом. Кожен прямокутний трикутник має два катета (на малюнку позначено як aі b або AC і BC)

Формули і властивості прямокутного трикутника

(Див. Рисунок вище)

a, b- катети прямокутного трикутника

c- гіпотенуза

α, β - гострі кути трикутника

S- площа

h- висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу

m a aз протилежного кута ( α )

m b- медіана, проведена до сторони bз протилежного кута ( β )

m c- медіана, проведена до сторони cз протилежного кута ( γ )

В прямокутному трикутнику будь-який з катетів менше гіпотенузи(Формули 1 і 2). Дана властивість є наслідком теореми Піфагора.

Косинус будь-якого з гострих кутівменше одиниці (Формули 3 і 4). Дана властивість випливає з попереднього. Так як будь-який з катетів менше гіпотенузи, то з співвідношення катета до гіпотенузи завжди менше одиниці.

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора). (Формула 5). Це властивість постійно використовується при вирішенні задач.

Площа прямокутного трикутникадорівнює половині твори катетів (Формула 6)

Сума квадратів медіандо катетам, дорівнює п'яти квадратах медіани до гіпотенузи і п'яти квадратах гіпотенузи, виділених на чотири (Формула 7). Крім зазначеної, є ще 5 формул, Тому рекомендується ознайомитися також і з уроком "Медіана прямокутного трикутника", в якому більш детально викладені властивості медіани.

Висотапрямокутного трикутника дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу (Формула 8)

Квадрати катетів обернено пропорційні квадрату висоти, опущеної на гіпотенузу (Формула 9). Дане тотожність також є одним із наслідків теореми Піфагора.

довжина гіпотенузидорівнює діаметру (двом радіусів) описаного кола (Формула 10). Гіпотенуза прямокутного трикутника є діаметром описаної окружності. Це властивість часто використовується при вирішенні задач.

радіус вписаногов прямокутний трикутник окружностіможна знайти як половину від виразу, що включає в себе суму катетів цього трикутника мінус довжину гіпотенузи. Або як твір катетів, поділене на суму всіх сторін (периметр) даного трикутника. (Формула 11)
синус кута відношенню протилежногоданому розі катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 12). Дана властивість використовується при вирішенні задач. Знаючи величини сторін, можна знайти кут, який вони утворюють.

Косинус кута А (α, альфа) в прямокутному трикутнику буде дорівнює відношенню прилеглогоданому розі катета до гіпотенузи(За визначенням синуса). (Формула 13)

(АВС)і його властивості, який представлений на малюнку. Прямокутний трикутник має гіпотенузу - сторону, яка лежить навпроти прямого кута.

Рада 1: Як знайти висоту в прямокутному трикутнику

Сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами. На малюнку боку AD, DC і BD, DC- катети, а сторони АСі СВ- гіпотенузи.

Теорема 1. В прямокутному трикутнику з кутом 30 ° катет, протилежний цьому кутку рвонеться половині гіпотенузи.

hC

АВ- гіпотенуза;

ADі D В

трикутник
Існує теорема:
система коментування CACKLE

Рішення: 1) Діагоналі будь-якого прямокутника равни.Верно 2) Якщо в трикутнику один гострий кут, то цей трикутник гострокутний. Не вірно. Види трикутників. Трикутник називається гострокутним, якщо всі три його кута - гострі, тобто менше 90 ° 3) Якщо точка лежить на.

Або, в іншому записі,

По теоремі Піфагора

Чому дорівнює висота в прямокутному трикутнику формула

Висота прямокутного трикутника

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, може бути знайдена тим чи іншим способом в залежності від даних в умові завдання.

Або, в іншому записі,

Де BK і KC проекції катетів на гіпотенузу (відрізки, на які висота ділить гіпотенузу).

Висоту, проведену до гіпотенузи, можна знайти через площу прямокутного трикутника. Якщо застосувати формулу для знаходження площі трикутника

(Половина твори боку на висоту, проведену до цієї сторони) до гіпотенузи і висоті, проведеної до гіпотенузи, отримаємо:

Звідси можемо знайти висоту як відношення подвоєною площі трикутника до довжини гіпотенузи:

Так як площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори катетів:

Тобто довжина висоти, проведеної до гіпотенузи, дорівнює відношенню твори катетів до гіпотенузи. Якщо позначити довжини катетів через a і b, довжину гіпотенузи через с, формулу можна переписати у вигляді

Так як радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи, довжину висоти можна виразити через катети і радіус описаного кола:

Оскільки проведена до гіпотенузи висота утворює ще два прямокутних трикутника, її довжину можна знайти через співвідношення в прямокутному трикутнику.

З прямокутного трикутника ABK

З прямокутного трикутника ACK

Довжину висоти прямокутного трикутника можна виразити через довжини катетів. Так як

По теоремі Піфагора

Якщо звести в квадрат обидві частини рівності:

Можна отримати ще одну формулу для зв'язку висоти прямокутного трикутника з катетами:

Чому дорівнює висота в прямокутному трикутнику формула

Прямокутний трикутник. Середній рівень.

Хочеш перевірити свої сили і дізнатися результат наскільки ти готовий до ЄДІ або ОГЕ?

Головна теорема про прямокутному трикутнику - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети і гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок - освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи замислювався ти, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай зробимо, як стародавні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його боку на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо відмічені точки

Тут ми, правда ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому ж дорівнює площа більшого квадрата? Правильно,. А площа меншого? Звісно, ​​. Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузи. Що вийшло? Два прямокутники. Значить, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Ось і побували ми Пифагором - довели його теорему древнім способом.

Прямокутний трикутник і тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються наступні співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Чи помітив ти одну дуже зручну річ? Подивися на табличку уважно.

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

II. За катету і гіпотенузі

III. За гіпотенузі і гострому куту

IV. За катету і гострому куту

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

Те ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, Незважаючи на те, що мають по одному однаковому гострого кута.

Потрібно, щоб В обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежними.

Ти помітив, чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Зазирни в тему «Трикутник» і зверни увагу на те, що для рівності «рядових» трикутників потрібно рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут між ними, два кута і сторона між ними або три сторони. А ось для рівності прямокутних трикутників досить усього двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така ж ситуація і з ознаками подібності прямокутних трикутників.

Ознаки подібності прямокутних трикутників

III. За катету і гіпотенузі

Медіана в прямокутному трикутнику

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

Точкою перетину діагоналі діляться навпіл Діагоналі рівні

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивніше, так це те, що вірно і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є:, тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівні. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всіх трьох вершин трикутника рівні, і це - ЦЕНТР описаного кола. Значить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того. ».

Але у подібних трикутників всі кути рівні!

Те ж саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

У і однакові гострі кути!

Яку ж користь можна отримати з цього «потрійного» подоби.

Ну наприклад - Дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію і отримуємо Першу формулу "Висота в прямокутному трикутнику":

Як же отримати другу?

А тепер застосуємо подобу трикутників і.

Отже, можна застосувати прикладу:.

Що тепер буде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу "Висота в прямокутному трикутнику":

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати і застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Ну ось, тепер, застосовуючи і комбінуючи ці знання з іншими, ти вирішиш будь-яке завдання з прямокутним трикутником!

Коментарі

Поширення матеріалів без узгодження допустимо при наявності dofollow-посилання на сторінку-джерело.

Політика конфіденційності

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти і т. Д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події. Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень. Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.

Властивість висоти прямокутного трикутника, опущеного на гіпотенузу

Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках. У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Спасибі за повідомлення!

Ваш коментар прийнятий, після модерації він буде опублікований на даній сторінці.

Хочете дізнатися що приховано під катом і отримувати ексклюзивні матеріали по підготовці до ОГЕ і ЄДІ? Залиште e-mail

Властивості прямокутного трикутника

Розглянемо прямокутний трикутник (АВС)і його властивості, який представлений на малюнку. Прямокутний трикутник має гіпотенузу - сторону, яка лежить навпроти прямого кута. Сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами. На малюнку боку AD, DC і BD, DC- катети, а сторони АСі СВ- гіпотенузи.

Ознаки рівності прямокутного трикутника:

Теорема 1. Якщо гіпотенуза і катет прямокутного трикутника схожі з гіпотенузою і катетом іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 2. Якщо два катета прямокутного трикутника дорівнюють двом катетам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 3. Якщо гіпотенуза і гострий кут прямокутного трикутника подібні гипотенузой і гострим кутом іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 4. Якщо катет і прилеглий (протилежний) гострий кут прямокутного трикутника дорівнюють катету і прилеглому (протилежного) гострого кута іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Властивості катета, протилежного куту в 30 °:

Теорема 1.

Висота в прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику з кутом 30 ° катет, протилежний цьому кутку рвонеться половині гіпотенузи.

Теорема 2. Якщо в прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний йому кут складає 30 °.

Якщо висота проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи, то такий трикутник ділиться на два менших, подібних до вихідного і аналогічні один до іншого. З цього випливають такі висновки:

1. Висота є середнім геометричним (середнім пропорційним) двох сегментів гіпотенузи.
2. Кожен катет трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і суміжних сегментів.

У прямокутному трикутнику в ролі висот виступають катети. Ортоцентр - це така точка, на якій відбувається перетин висот трикутника. Вона збігається з вершиною прямого кута фігури.

hC- висота виходить з прямого кута трикутника;

АВ- гіпотенуза;

ADі D В- відрізки, що виникли при розподілі гіпотенузи висотою.

Повернутися до перегляду довідок з дисципліни "Геометрія"

трикутник- це геометрична фігура, що складається з трьох точок (вершин), які не перебувають на одній і тій же прямій лінії і трьох відрізків з'єднують ці точки. Прямокутним трикутником називається трикутник, який має один з кутів в 90 ° (прямий кут).
Існує теорема:сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 °.
система коментування CACKLE

Ключові слова:трикутник, прямокутний, катет, гіпотенуза, теорема Піфагора, окружність

трикутник називають прямокутним, Якщо у нього є прямий кут.
Прямокутний трикутник має дві взаємно перпендикулярні сторони, звані катетами; третя його сторона називається гипотенузой.

• За властивостями перпендикуляра і похилих гіпотенуза длиннее кожного з катетів (але менше їх суми).
• Сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює прямого кута.
• Дві висоти прямокутного трикутника збігаються з його катетами. Тому одна з чотирьох чудових точок потрапляє в вершини прямого кута трикутника.
• Центр описаного кола прямокутного трикутника лежить в середині гіпотенузи.
• Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямокутн кута на гіпотенузу, є радіусом описаного навколо цього трикутника окружності.

Розглянемо довільний прямокутний трикутник АВС і проведемо висоту СD = hc з вершини С його прямого кута.

Вона розіб'є даний трикутник на два прямокутних трикутника АСD і ВСD; кожен з цих трикутників має з трикутником АВС загальний гострий кут і тому подібний трикутнику АВС.

Всі три трикутника АВС, АСD і ВСD подібні між собою.

З подоби трикутників визначаються співвідношення:

• $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
• c = ac + bc;
• $$ a = \ sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
• $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$.

теорема Піфагораодна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

Геометрична формулювання.У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Алгебраїчна формулювання.У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b:
a2 + b2 = c2

Зворотній теорема Піфагора.

Висота прямокутного трикутника

Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такий, що
a2 + b2 = c2,
існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по катету і гіпотенузі;
• за двома катетам;
• по катету і гострому куту;
• по гіпотенузі і гострому куту.

Див. також:
Площа трикутника, Рівнобедрений трикутник, Рівносторонній трикутник

Геометрія. 8 клас. тест 4. варіант 1 .

AD : CD = CD : BD. Звідси CD2 = AD ∙ BD. кажуть:

AD : AC = AC : AB. Звідси AC2 = AB ∙ AD. кажуть:

BD : BC = BC : AB. Звідси BC2 = AB ∙ BD.

Вирішіть завдання:

1.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить гіпотенузу на відрізки 9 і 36.

Визначити довжину цієї висоти.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Катет прямокутного трикутника дорівнює 30.

Як знайти висоту в прямокутному трикутнику?

Знайти відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи, якщо радіус описаного навколо цього трикутника кола дорівнює 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Звірити відповіді!

Г8.04.1. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику

Геометрія. 8 клас. тест 4. варіант 1 .

У Δ АВС ∠АСВ = 90 °. АС і ВС катети, АВ гіпотенуза.

CD висота трикутника, проведена до гіпотенузи.

AD проекція катета АС на гіпотенузу,

BD проекція катета ВС на гіпотенузу.

Висота CD ділить трикутник АВС на два подібних йому (і один одному) трикутника: Δ ADC і Δ CDB.

З пропорційності сторін подібних Δ ADC і Δ CDB слід:

AD : CD = CD : BD.

Властивість висоти прямокутного трикутника, опущеного на гіпотенузу.

Звідси CD2 = AD ∙ BD. кажуть: висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи,є середня пропорційна величина між проекціями катетів на гіпотенузу.

З подоби Δ ADC і Δ АCB слід:

AD : AC = AC : AB. Звідси AC2 = AB ∙ AD. кажуть: кожен катет є середня пропорційна величина між всієї гипотенузой і проекцією цього катета на гіпотенузу.

Аналогічно, з подібності Δ СDВ і Δ АCB слід:

BD : BC = BC : AB. Звідси BC2 = AB ∙ BD.

Вирішіть завдання:

1. Знайти висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки 25 см і 81 см.

A) 70 см; B) 55 см; C) 65 см; D) 45 см; E) 53 см.

2. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить гіпотенузу на відрізки 9 і 36. Визначити довжину цієї висоти.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 22, проекція одного з катетів дорівнює 16. Знайти проекцію іншого катета.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Катет прямокутного трикутника дорівнює 18, а його проекція на гіпотенузу 12. Знайти гіпотенузу.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Гіпотенуза дорівнює 32. Знайти катет, проекція якого на гіпотенузу дорівнює 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 45. Знайти катет, проекція якого на гіпотенузу дорівнює 9.

8. Катет прямокутного трикутника дорівнює 30. Знайти відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи, якщо радіус описаного навколо цього трикутника кола дорівнює 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 41, а проекція одного з катетів 16. Знайти довжину висоти, проведеної з вершини прямого кута до гіпотенузи.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Різниця проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює 15, а відстань від вершини прямого кута до гіпотенузи дорівнює 4. Знайти радіус описаного кола.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.