Застосування тригонометрії в економіці. Додаткове застосування тригонометрії в життя

Вступ

Реальні процеси навколишнього світу зазвичай пов'язані з великою кількістю змінних і залежностей між ними. Описати ці залежності можна за допомогою функцій. Поняття «функція» зіграло і понині грає велику роль в пізнанні реального світу. Знання властивостей функцій дозволяє зрозуміти суть процесів, що відбуваються, передбачити хід їх розвитку, управляти ними. Вивчення функцій є актуальнимзавжди.

мета: виявити зв'язок тригонометричних функцій з явищами навколишнього світу і показати, що дані функції знаходить широке застосування в житті.

завдання:

1. Вивчити літературу і ресурси віддаленого доступу по темі проекту.

2. З'ясувати, які закони природи виражаються тригонометричними функцією.

3. Знайти приклади застосування тригонометричних функцій в навколишньому світі.

4. Проаналізувати і систематизувати наявний матеріал.

5. Підготувати оформлений матеріал відповідно до вимог інформаційного проекту.

6. Розробити відповідно до змісту проекту електронну презентацію.

7. Виступити на конференції з результатами проведеної роботи.

На підготовчому етапія знайшов матеріал по даній темі і ознайомився з ним висунув гіпотези сформулювали мету свого проекту. Я почав пошук необхідної інформації, вивчав літературу по моїй темі і матеріали ресурсів віддаленого доступу.

На основному етапі, Була підібрана і накопичена інформація по темі, проаналізовані знайдені матеріали. Я з'ясував основні області застосування тригонометричних функцій. Всі дані були узагальнені і систематизовані. Потім розроблений цілісний остаточний варіант інформаційного проекту, складена презентація по темі дослідження.

На заключному етапібула проаналізірованапрезентація роботи на конкурс. На цьому етапі також передбачалася діяльність по реалізації всіх поставлених завдань, підведення підсумків, т. Е. Оцінка своєї діяльність.

Схід і захід сонця, зміна фаз місяця, чергування пір року, биття серця, цикли в життєдіяльності організму, обертання колеса, морські припливи і відливи - моделі цих різноманітних процесів описуються тригонометричними функціями.

Тригонометрія в фізиці.

У техніці і навколишній світ часто доводиться стикатися з періодичними (або майже періодичними) процесами, які повторюються через однакові проміжки часу. Такі процеси називають коливальними. Коливальні явища різної фізичної природи підкоряються загальним закономірностям. Наприклад, коливання струму в електричному ланцюзі і коливання математичного маятника можуть описуватися однаковими рівняннями. Спільність коливальних закономірностей дозволяє розглядати коливальні процеси різної природи з єдиної точки зору. Поряд з прогресивними і обертальними рухами тел в механіці значний інтерес представляють і коливальні рухи.

механічними коливанняминазивають руху тіл, що повторюються точно (або приблизно) через однакові проміжки часу. Закон руху тіла, що здійснює коливання, задається за допомогою деякої періодичної функції часу x = f (t). Графічне зображення цієї функції дає наочне уявлення про протікання коливального процесу в часі. Прикладом хвилі такого роду можуть служити хвиля, що біжать по натягнутому гумовому джгута або по струні.

Прикладами простих коливальних систем можуть служити вантаж на пружині або математичний маятник (рис.1).

Рис.1. Механічні коливальні системи.

Механічні коливання, як і коливальні процеси будь-якої іншої фізичної природи, можуть бути вільними і вимушеними. Вільні колебаніясовершаются під дією внутрішніх сил системи, після того, як система була виведена зі стану рівноваги. Коливання вантажу на пружині або коливання маятника є вільними коливаннями. Коливання, що відбуваються під дією зовнішніх періодично змінюються сил, називаються вимушеними.

На малюнку 2 приведені графіки координати, швидкості і прискорення тіла, що здійснює гармонійні коливання.

Найпростішим видом коливального процесу є прості гармонійні коливання, які описуються рівнянням:

x = m cos (ωt + f 0).

Малюнок 2 Графіки координати x (t), швидкості υ (t)

і прискорення a (t) тіла, що здійснює гармонійні коливання.

звуковими хвилямиабо просто звуком прийнято називати хвилі, що сприймаються людським вухом.

Якщо в якомусь місці твердої, рідкої або газоподібної середовища порушено коливання частинок, то внаслідок взаємодії атомів і молекул середовища коливання починають передаватися від однієї точки до іншої з кінцевою швидкістю. Процес поширення коливань в середовищі називається хвилею.

Значний інтерес для практики представляють прості гармонійні або синусоїдальні хвилі. Вони характеризуються амплітудою A коливання частинок, частотою f і довжиною хвилі λ. Синусоїдальні хвилі поширюються в однорідних середовищах з деякою постійною скоростьюυ.

Якби зір людей мало здатністю бачити звукові, електромагнітні та радіохвилі, то ми бачили б навколо численні синусоїди всіляких видів.

Напевно, кожен не раз спостерігав явище, коли опущені в воду предмети відразу ж міняли свої розміри і пропорції. Цікаве явище, занурюєш в воду свою руку, і вона відразу ж перетворюється в руку якогось іншої людини. Чому так відбувається? Відповідь на це питання і докладне пояснення цього явища як завжди дає фізика - наука, яка може пояснити практично всі, що нас оточує в цьому світі.

Отже, насправді, при зануренні у воду предмети, звичайно ж, не змінюють ні своїх розмірів, ні своїх обрисів. Це просто оптичний ефект, тобто ми візуально сприймаємо цей об'єкт по-іншому. Відбувається це через властивості світлового променя. Виявляється, на швидкість поширення світла у величезній мірі впливає, так звана оптична щільність середовища. Чим щільніше ця оптичне середовище, тим повільніше поширюється промінь світла.

Але і зміна швидкості променя світла ще не пояснює повною мірою розглядається нами явища. Існує і ще один фактор. Так ось, коли світловий промінь проходить кордон між менш щільною оптичним середовищем, наприклад повітрям, і більш щільною оптичним середовищем, наприклад водою, частина світлового променя не проникає всередину нового середовища, а відбивається від її поверхні. Інша ж частина світлового променя проникає всередину, але, вже змінюючи напрямок.

Це явище називається заломленням світла, і вчені вже давно можуть не просто спостерігати, а й точно розраховувати кут цього заломлення. Виявилося, що найпростіші тригонометричні формули і знання синуса кута падіння і кута заломлення дають можливість дізнатися постійний коефіцієнт заломлення для переходу світлового променя з однієї конкретної середовища в іншу. Наприклад, коефіцієнт заломлення повітря надзвичайно малий і становить 1,0002926, коефіцієнт заломлення води трохи більше - 1,332986, алмаз переломлює світло з коефіцієнтом 2,419, а кремній - 4,010.

Дане явище лежить в основі, так званої Теорії веселки.Вперше теорія веселки була дана в 1637 році Рене Декартом. Він пояснив веселку, як явище, пов'язане з відображенням і заломленням світла в дощових краплях.

Радуга виникає через те, що сонячне світло відчуває переломлення в крапельках води, зважених в повітрі за законом заломлення:

де n 1 = 1, n 2 ≈1,33 - відповідно показники заломлення повітря і води, α - кут падіння, а β - кут заломлення світла.

Застосування тригонометрії в мистецтві і архітектурі.

З того часу як людина стала існувати на землі, основою поліпшення побуту та інших сфер життя стала наука. Основи всього, що створено людиною - це різні напрямки в природничих і математичних науках. Одна з них - геометрія. Архітектура не єдина сфера науки, в якій використовуються тригонометричні формули. Більшість композиційних рішень і побудов малюнків проходило саме за допомогою геометрії. Але теоретичні дані мало що значать. Розглянемо приклад на побудову однієї скульптури французького майстра Золотого століття мистецтва.

Пропорційне співвідношення в побудові статуї було ідеально. Однак при піднятті статуї на високий п'єдестал, вона виглядала потворною. Скульптором не було враховано, що в перспективі до горизонту зменшуються багато деталей і при погляді знизу вгору вже не створюється враження її ідеальності. Велося безліч розрахунків, щоб фігура з великої висоти виглядала пропорційно. В основному вони були засновані на методі візування, тобто приблизного вимірювання, на око. Однак коефіцієнт різниці тих чи інших пропорцій дозволили зробити фігуру більш наближеною до ідеалу. Таким чином, знаючи приблизну відстань від статуї до точки зору, а саме від верху статуї до очей людини і висоту статуї, можна розрахувати синус кута падіння погляду за допомогою таблиці, тим самим знайдемо точку зору (рис.4).

На малюнку 5 ситуація змінюється, так як статую піднімають на висоту АС і НС збільшуються, можна розрахувати значення косинуса кута С, по таблиці знайдемо кут падіння погляду. У процесі можна розрахувати АН, а також синус кута С, що дозволить перевірити результати за допомогою основного тригонометричного тотожності cos 2 a + sin 2 a = 1.

Порівнявши вимірювання АН в першому і в другому випадки можна знайти коефіцієнт пропорційності. Згодом ми отримаємо креслення, а потім скульптуру, при піднятті якої візуально фігура буде наближена до ідеалу

Культові будівлі в усьому світі були спроектовані завдяки математиці, яка може вважатися генієм архітектури. Деякі відомі приклади таких будівель: Дитяча школа Гауді в Барселоні, Хмарочос Мері-Екс в Лондоні, Винарня «Бодегас Ісіос» в Іспанії, Ресторан в Лос-Манантіалесе в Аргентині. При проектуванні цих будівель не обійшлося без тригонометрії.

Тригонометрія в біології.

Одне з фундаментальних властивостей живої природи - це циклічність більшості відбуваються в ній процесів. Між рухом небесних тіл і живими організмами на Землі існує зв'язок. Живі організми не тільки вловлюють світло і тепло Сонця і Місяця, але і володіють різними механізмами, точно визначають положення Сонця, що реагують на ритм припливів, фази Місяця і рух нашої планети.

Біологічні ритми, біоритми, - це більш-менш регулярні зміни характеру і інтенсивності біологічних процесів. Здатність до таких змін життєдіяльності передається у спадок і виявлено практично у всіх живих організмів. Їх можна спостерігати в окремих клітках, тканинах і органах, цілих організмах і популяціях. Біоритми поділяють на фізіологічні, мають періоди від часток секунди до декількох хвилин і екологічні,по тривалості збігаються з якихось ритмом навколишнього середовища. До них відносять добові, сезонні, річні, приливні і місячні ритми. Основний земної ритм - добовий, обумовлений обертанням Землі навколо своєї осі, тому практично всі процеси в живому організмі мають добової періодичністю.

Безліч екологічних факторів на нашій планеті, в першу чергу світловий режим, температура, тиск і вологість повітря, атмосферний і електромагнітне поле, морські припливи і відливи, під впливом цього обертання закономірно змінюються.

Ми на сімдесят п'ять відсотків складаємося з води, і якщо в момент повного місяця води світового океану піднімаються на 19 метрів над рівнем моря і починається приплив, то вода, що знаходиться в нашому організмі так само спрямовується в верхні відділи нашого тіла. І у людей з підвищеним тиском часто спостерігаються загострення хвороби в ці періоди, а натуралісти, що збирають лікарські трави, точно знають в яку фазу місяця збирати «вершки - (плоди)», а в яку - «корінці».

Ви помічали, що в певні періоди ваше життя робить незрозумілі скачки? Раптом нізвідки не візьмись - б'ють через край емоції. Підвищується чутливість, яка раптово може змінитися повною апатією. Творчі і безплідні дні, щасливі й нещасні моменти, різкі скачки настрою. Помічено, що можливості людського організму змінюються періодично. Ці знання лежать в основі «теорії трьох біоритмів».

фізичний біоритм- регулює фізичну активність. Протягом першої половини фізичного циклу людина енергійна, і досягає кращих результатів у своїй діяльності (друга половина - енергійність поступається лінощів).

емоційний ритм- в періоди його активності підвищується чутливість, поліпшується настрій. Людина стає збудливим до різних зовнішніх катаклізмів. Якщо у нього гарний настрій, він будує повітряні замки, мріє закохатися і закохується. При зниженні емоційного біоритму відбувається занепад душевних сил, пропадає бажання, радісний настрій.

Інтелектуальний біоритм -він розпоряджається пам'яттю, здатністю до навчання, логічного мислення. У фазі активності спостерігається підйом, а в другій фазі спад творчої активності, відсутні удача й успіх.

Теорія трьох ритмів.

· Фізичний цикл -23 дня. Визначає енергію, силу, витривалість, координацію руху

· Емоційний цикл - 28 днів. Стан нервової системи і настрій

· Інтелектуальний цикл - 33 дня. Визначає творчу здатність особистості

Тригонометрія зустрічається і в природі. Рух риб у водівідбувається за законом синуса або косинуса, якщо зафіксувати точку на хвості, а потім розглянути траєкторію руху. При плаванні тіло риби приймає форму кривої, яка нагадує графік функції y = tgx.

При польоті птаха траєкторія помаху крил утворює синусоїду.

Тригонометрія в медицині.

В результаті дослідження, проведеного студентом іранського університету Шираз Вахідом-Резой Аббасі, медики вперше отримали можливість упорядкувати інформацію, що відноситься до електричної активності серця або, іншими словами, електрокардіографії.

Формула, що отримала назву тегеранській, була представлена ​​широкій науковій громадськості на 14-й конференції географічної медицини і потім - на 28-й конференції з питань застосування комп'ютерної техніки в кардіології, що відбулася в Нідерландах.

Ця формула є комплексним алгебраїчно-тригонометрическое рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів і 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії. Як стверджують медики, ця формула в значній мірі полегшує процес опису основних параметрів діяльності серця, прискорюючи, тим самим, постановку діагнозу і початок власне лікування.

Багатьом людям доводиться робити кардіограму серця, але мало хто знає, що кардіограма людського серця - графік синуса або косинуса.

Тригонометрія допомагає нашому мозку визначати відстані до об'єктів. Американські вчені стверджують, що мозок оцінює відстань до об'єктів, вимірюючи кут між площиною землі і площиною зору. Такий висновок був зроблений після серії експериментів, учасникам яких пропонувалося поглянути на навколишній світ через призми, що збільшують цей кут.

Таке спотворення призводило до того, що піддослідні носії призм сприймали віддалені об'єкти як ближчі і не могли впоратися з найпростішими тестами. Деякі з учасників експериментів навіть нахилялися вперед, прагнучи вирівняти своє тіло перпендикулярно неправильно подається поверхні землі. Однак по подію 20 хвилин вони звикли до спотвореного сприйняття, і всі проблеми зникли. Ця обставина вказує на гнучкість механізму, за допомогою якого мозок пристосовує зорову систему до мінливих зовнішніх умов. Цікаво зауважити, що після того, як призми були зняті, деякий час спостерігався зворотний ефект - переоцінка відстані.

Результати нового дослідження, як можна припустити, виявляться небезінтересні інженерам, що конструюють системи навігації для роботів, а також фахівцям, які працюють над створенням максимально реалістичних віртуальних моделей. Можливі й додатки в області медицини, при реабілітації пацієнтів з ушкодженнями певних областей мозку.

висновок

В даний час тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики та інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до близьких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел, сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія і геодезія, архітектура, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

висновки:

· Ми з'ясували, що тригонометрія була викликана до життя необхідністю проводити вимірювання кутів, але з часом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.

· Ми довели, що тригонометрія тісно пов'язана з фізикою, біологією, зустрічається в природі, архітектурі та медицині.

· Ми думаємо, що тригонометрія знайшла відображення в нашому житті, і сфери, в яких вона грає важливу роль, будуть розширюватися.

література

1. Алімов Ш.А. ін. "Алгебра і початки аналізу" Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх установ, М., Просвітництво, 2010 року.

2. Виленкин Н.Я. Функції в природі і техніки: Кн. для внеклас. читання IX-XX кл. - 2-е изд., Іспр.і-М: Просвещение, 1985.

3. Глейзер Г.І. Історія математики в школі: IX-X кл. - М .: Просвещение, 1983.

4. Маслова Т.М. «Довідник школяра з математики»

5. Рибников К.А. Історія математики: Підручник. - М .: Изд-во МГУ, 1994.

6. Учеба.ru

7. Math.ru «бібліотека»

ТРИГОНОМЕТРІЯ- (від грец. Trigwnon - трикутник і metrew - вимірюю) - математична дисципліна, що вивчає залежності між кутами і сторонами трикутників і тригонометричні функції.

Термін «тригонометрія» ввів у вживання в 1595 німецький математик і богослов Варфоломій Пітіск, автор підручника з тригонометрії і тригонометричних таблиць. До кінця 16 ст. більшість тригонометричних функцій було вже відомо, хоча саме це поняття ще не існувало.

У тригонометрії виділяють три види співвідношень: 1) між самими тригонометричними функціями; 2) між елементами плоского трикутника (тригонометрія на площині); 3) між елементами сферичного трикутника, тобто фігури, що висікається на сфері трьома площинами, що проходять через її центр. Тригонометрія почалася саме з найбільш складною, сферичної частини. Вона виникла перш за все з практичних потреб. Стародавні спостерігали за рухом небесних світил. Вчені обробляли дані вимірювань, щоб вести календар і правильно визначати час початку сівби і збору врожаю, дати релігійних свят. За зірками обчислювали місцезнаходження корабля в море або напрямок руху каравану в пустелі. Спостереження за зоряним небом з незапам'ятних часів вели і астрологи.

Природно, всі виміри, пов'язані з розташуванням світил на небосхилі, - вимірювання непрямі. Прямі могли бути проведені тільки на поверхні Землі, але і тут далеко не завжди вдавалося безпосередньо визначити відстань між якимись пунктами і тоді знову вдавалися до непрямих вимірах. Наприклад, обчислювали висоту дерева, порівнюючи довжину його тіні з довжиною тіні від якогось жердини, висота якого була відома. Аналогічним чином обчислювали і розміри острова в море. Подібні завдання зводяться до аналізу трикутника, в якому одні його елементи виражають через інші. Цим і займається тригонометрія. А оскільки зірки і планети представлялися древнім точками на небесній сфері, то спочатку стала розвиватися саме сферична тригонометрія. Її вважали розділом астрономії.

А починалося все дуже давно. Перші уривчасті відомості з тригонометрії збереглися на клинописних табличках Стародавнього Вавилона. Астрономи Межиріччя навчилися передбачати положення Землі і Сонця і саме від них до нас прийшла система вимірювання кутів в градусах, хвилинах і секундах, тому що у вавилонян була прийнята шістдесяткова система числення.

Однак перші по-справжньому важливі досягнення належать давньогрецьким вченим. Наприклад, 12-я і 13-я теореми другої книги почавЕвкліда (кінець 4-3 в. До н. Е.) Висловлюють по суті теорему косинусів. У 2 ст. до н.е. астроном Гіппарх з Нікеї (180-125 до н.е.) склав таблицю для визначення співвідношень між елементами трикутників. Такі таблиці потрібні тому, що значення тригонометричних функцій можна обчислити по аргументам за допомогою арифметичних операцій. Тригонометричні функції доводилося розраховувати заздалегідь і зберігати у вигляді таблиць. Гіппарх підрахував в колі заданого радіуса довжини хорд, що відповідають кожному куті від 0 до 180 °, кратним 7,5 °. По суті, це таблиця синусів. Праці Гиппарха до нас не дійшли, але багато відомості з них включені в Альмагест(II ст.) - знаменитий твір в 13 книгах грецького астронома і математика Клавдія Птолемея (пом. Ок.160 н. Е.). Стародавні греки не знали синусів, косинусів і тангенсів, замість таблиць цих величин вони вживали таблиці, що дозволяли знаходити хорду кола по стягують дузі. В Альмагестеавтор наводить таблицю довжин хорд кола радіуса в 60 одиниць, обчислених з кроком 0,5 ° з точністю до 1/3600 одиниці, і пояснює, як ця таблиця складалася. Праця Птолемея кілька століть служив введенням в тригонометрію для астрономів.

Щоб зрозуміти, як вчені давнини складали тригонометричні таблиці, треба познайомитися з методом Птолемея. Метод заснований на теоремі - твір діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі творів його протилежних сторін.

нехай ABCD -вписаний чотирикутник , А D -діаметр окружності, а точка O- її центр (рис. 1). Якщо відомо, як обчислювати хорди, що стягують кути DOC= A і DОВ = b, т. е. сторону СDі діагональ B,то, за теоремою Піфагора, з прямокутних трикутників А dі АDСможна знайти АВ і АС,а потім, по теоремі Птолемея, - BC = (АС· ВD - АВ· СD) /А D, Тобто хорду, тиснучу кут ВОС= b - a. Деякі хорди, наприклад боку квадрата, правильних шестикутника і восьмикутника, що відповідають кутам 90, 60 і 45 °, легко визначити. Відома також сторона правильного п'ятикутника, яка стягує дугу в 72 °. Наведене вище правило дозволяє обчислювати хорди для різниць цих кутів, наприклад для 12 ° = 72 ° - 60 °. Крім того, можна знаходити хорди половинних кутів, проте цього недостатньо, щоб розрахувати, чому дорівнює хорда дуги в 1 °, - хоча б тому, що всі названі кути кратні 3 °. Для хорди 1 ° Птолемей знайшов оцінку, показавши, що вона більше 2/3 хорди (3/2) ° і менше 4/3 хорди (3/4) ° - двох чисел, які збігаються з достатньою для його таблиць точністю.

Якщо греки по кутах обчислювали хорди, то індійські астрономи в творах 4-5 ст. перейшли до полухордам подвійний дуги, тобто в точності до ліній синуса (рис. 2). Вони користувалися і лініями косинуса - вірніше, не його самого, а «зверненого» синуса, який отримав пізніше в Європі назву «синус-верзус», зараз ця функція, рівна 1 - cos a, вже не вживається. Згодом той же підхід привів до визначення тригонометричних функцій через відносини сторін прямокутного трикутника.

За одиницю вимірювання відрізків MP,OP,PAприймалася дугова хвилина. Так, лінія синуса дуги AB= 90 ° є OB- радіус кола; дуга AL, Що дорівнює радіусу, містить (округлено) 57 ° 18 "= 3438".

Дійшли до нас індійські таблиці синусів (найдавніша складена в 4-5 столітті н.е.) не настільки точні, як Птолемеєві; вони складені через 3 ° 45 "(тобто через 1/24 частина дуги квадранта).

Терміни «синус» і «косинус» прийшли від індійців, не обійшлося і без цікавого непорозуміння. Полухорду індійці називали «ардхаджіва» (в перекладі з санскриту - «половина тятиви лука»), а потім скоротили це слово до «джива». Мусульманські астрономи і математики, які отримали знання з тригонометрії від індійців, сприйняли його як «джіба», а потім воно перетворилося в «джайб», що на арабській мові означає «опуклість», «пазуха». Нарешті, в 7 ст. «Джайб» буквально перевели на латину словом «sinus» , яка не мала ніякого відношення до позначається їм поняття. Санскритське «котіджіва» - синус залишку (до 90 °), а на латинській - sinus complementi, тобто синус доповнення, в 17 ст. скоротилося до слова «косинус». Найменування «тангенс» і «секанс» (в перекладі з латинської означають «дотична» і «січна») введені в 1583 німецьким вченим Фінком.

Великий внесок у розвиток тригонометрії внесли арабські вчені, наприклад, Аль-Баттани (бл. 900 н.е.). У 10 ст. багдадський вчений Мухаммед з Буджано, відомий під ім'ям Абу-ль-Вефа (940-997), приєднав до ліній синусів і косинусів лінії тангенсів, котангенсів, Секанс і косеканс. Він дає їм ті ж визначення, які містяться і в наших підручниках. Абу-ль-Вефа встановлює і основні співвідношення між цими лініями.

Отже, до кінця 10 ст. вчені ісламського світу вже оперували, поряд з синусом і косинусом, чотирма іншими функціями - тангенсом, котангенсом, Секанс і косеканс; відкрили і довели кілька важливих теорем плоскої і сферичної тригонометрії; використовували окружність одиничного радіуса (що дозволило тлумачити тригонометричні функції в сучасному сенсі); придумали полярний трикутник сферичного трикутника. Арабські математики склали точні таблиці, наприклад таблиці синусів і тангенсів з кроком в 1 "і точністю до 1/700 000 000. Дуже важливою прикладною задачею була і така: навчитися визначати напрямок на Мекку для п'яти щоденних молитов, де б не перебував мусульманин.

Особливо великий вплив на розвиток тригонометрії надав Трактат про повний четирехсторонниковастронома Насир-ед-Дін з Туса (1201-1274), відомого також під ім'ям ат-Тусі. Це було перше в світі твір, в якому тригонометрія трактувалася як самостійна галузь математики.

У 12 ст. був переведений з арабської мови на латинську ряд астрономічних робіт, по ним вперше європейці познайомилися з тригонометрією.

Трактат Насир-ед-Діна справив велике враження на німецького астронома і математика Йоганна Мюллера (1436-1476). Сучасники більше знали його під ім'ям Региомонтана (так перекладається на латинський назва його рідного міста Кенігсберга, нині - Калінінграда). Региомонтан склав величезні таблиці синусів (через 1 хвилину з точністю до сьомої значущої цифри). Він вперше відступив від шестідесятірічних поділу радіусу і за одиницю виміру лінії синуса прийняв одну десятимільйонну частина радіуса. Таким чином, синуси виражалися цілими числами, а не шестідесятірічних дробом. До введення десяткових дробів залишався тільки один крок, але він зажадав більше 100 років. праця Региомонтана Про трикутниках всіх родів п'ять книгзіграв в європейській математиці ту ж роль, що і твір Насир-ед-Діна в науці мусульманських країн.

За таблицями Региомонтана відбулася низка інших, ще більш докладних. Друг Коперника Ретик (1514-1576) разом з кількома помічниками протягом 30 років працював над таблицями, закінченими і виданими в1596 його учнем Отто. Кути йшли через 10 "", а радіус ділився на 1 000 000 000 000 000 частин, так що синуси мали 15 вірних цифр.

Подальший розвиток тригонометрії йшло по шляху накопичення і систематизації формул, уточнення основних понять, становлення термінології і позначень. Багато європейських математики працювали в області тригонометрії. Серед них такі великі вчені, як Микола Коперник (1473-1543), Тихо Браге (1546-1601) і Йоганн Кеплер (1571-1630). Франсуа Вієт (1540-1603) доповнив і систематизував різні випадки рішення плоских і сферичних трикутників, відкрив «плоску» теорему косинусів і формули для тригонометричних функцій від кратних кутів. Ісаак Ньютон (1643-1727) розклав ці функції в ряди і відкрив шлях для їх використання в математичному аналізі. Леонард Ейлер (1707-1783) ввів і саме поняття функції, і прийняту в наші дні символіку. величини sin x, cos xі т.д. він розглядав як функції числа x- радіанної заходи відповідного кута. Ейлер давав числу xвсілякі значення: позитивні, негативні і навіть комплексні. Він також виявив зв'язок між тригонометричними функціями і експонентою комплексного аргументу, що дозволило перетворити численні і найчастіше досить мудрі тригонометричні формули в прості слідства з правил додавання і множення комплексних чисел. Він же ввів і зворотні тригонометричні функції.

До кінця 18 ст. тригонометрія як наука вже склалася. Тригонометричні функції знайшли застосування в математичному аналізі, фізики, хімії, техніці - всюди, де доводиться мати справу з періодичними процесами і коливаннями - будь то акустика, оптика або хитання маятника.

Рішення будь-яких трикутників, в кінцевому рахунку, зводиться до вирішення прямокутних трикутників (тобто таких, у яких один з кутів - прямий). Оскільки всі прямокутні трикутники із заданим гострим кутом подібні один одному, відносини їх відповідних сторін однакові. Наприклад, в прямокутному трикутнику ABCвідношення двох його сторін, наприклад, катета адо гіпотенузи з, Залежить від величини одного з гострих кутів, наприклад А. Відносини різних пар сторін прямокутного трикутника і називаються тригонометричними функціямийого гострого кута. Всього таких відносин в трикутнику шість, і їм відповідають шість тригонометричних функцій (позначення сторін і кутів трикутника на рис. 3).

Так як А + В= 90 °, то

sin A= cos B= Cos (90 ° - A),

A= ctg B= Ctg (90 ° - A).

З визначень випливає кілька рівності, що пов'язують тригонометричні функції одного і того ж кута між собою:

З урахуванням теореми Піфагора a 2 + b 2 = c 2 можна висловити все шість функцій через якусь одну. Наприклад, синус і косинус пов'язані основним тригонометричним тотожністю

sin 2 A+ Cos 2 A = 1.

Деякі співвідношення між функціями:

Ці формули справедливі і для тригонометричних функцій будь-якого кута, але ними треба користуватися обережно, оскільки праві і ліві частини можуть мати різні області визначення.

Є тільки два прямокутних трикутника, у яких і кути «хороші» (виражаються цілим або раціональним числом градусів), і хоча б одне з відносин сторін раціонально. Це трикутник (з кутами 45, 45 і 90 °) і половина рівностороннього трикутника (з кутами 30, 60, 90 °) - як раз ті два випадки, коли значення тригонометричних функцій вдається обчислити прямо по визначенню. Ці значення наведені в таблиці

МБОУ Цілинна ЗОШ

Доповідь Тригонометрія в реальному житті

Підготувала і провела

учитель математики

кваліфікаційної категорії

Ільїна В. П.

п. Цілинний березня 2014р.

Зміст.

1. Введення .

2.История створення тригонометрії:

Ранні століття.

Стародавня Греція.

Середньовіччя.

Новий час.

З історії розвитку сферичної геометрії.

3.Трігонометрія і реальне життя:

Застосування тригонометрії в навігації.

Тригонометрія в алгебрі.

Тригонометрія в фізиці.

Тригонометрія в медицині та біології.

Тригонометрія в музиці.

Тригонометрія в інформатиці

Тригонометрія в будівництві і геодезії.

4. Висновок .

5. Список літератури.

Вступ

З давніх-давен в математиці встановилася така практика, що при систематичному вивченні математики нам - учням доводиться зустрічатися з тригонометрією тричі. Відповідно її зміст представляється що складається з трьох частин. Ці частини при навчанні відокремлені один від одного за часом і не схожі один на одного як за змістом, вкладаємо в пояснення основних понять, так і по развиваемому апарату і по службових функцій (з додатками).

І справді, вперше тригонометричний матеріал ми зустріли в 8 класі при вивченні теми «Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника». Так ми дізналися, що таке синус, косинус і тангенс, навчилися вирішувати плоскі трикутники.

Однак минув певний час і в 9-му класі ми знову повернулися до тригонометрії. Але ця тригонометрія не схожа на ту, що вивчали раніше. Її співвідношення визначаються тепер за допомогою кола (одиничної півкола), а не прямокутного трикутника. Хоча вони як і раніше визначаються як функції кутів, але ці кути вже довільно великі.

Перейшовши ж в 10 клас, ми знову зіткнулися з тригонометрією і побачили, що вона стала ще складніше, було введено поняття Радіанна міра кута, інакше виглядають і тригонометричні тотожності, і постановка задач, і трактування їх рішень. Вводяться графіки тригонометричних функцій. Нарешті, з'являються тригонометричні рівняння. І весь цей матеріал з'явився перед нами вже як частина алгебри, а не як геометрія. І нам стало дуже цікаво вивчити історію тригонометрії, її застосування в повсякденному житті, тому що використання вчителем математики історичних відомостей не є обов'язковим при викладі матеріалу уроку. Однак, як вказує К. А. Малигін «... екскурси в історичне минуле пожвавлюють урок, дають розрядку розумової напруги, піднімають інтерес до досліджуваного матеріалу і сприяють міцному його засвоєнню». Тим більше що матеріал з історії математики досить великий і цікавий, так як розвиток математики тісно пов'язане з вирішенням нагальних завдань, що виникали в усі періоди існування цивілізації.

Дізнавшись про історичні причини виникнення тригонометрії, і вивчивши, як плоди діяльності великих вчених вплинули на розвиток цієї галузі математики і на вирішення конкретних завдань, у нас, у школярів, підвищується інтерес до досліджуваного предмета, і ми побачимо його практичне значення.

Мета проекту - розвиток інтересу до вивчення теми «Тригонометрія» в курсі алгебри і початки аналізу через призму прикладного значення досліджуваного матеріалу; розширення графічному вигляді, що містять тригонометричні функції; застосування тригонометрії в таких науках, як фізика, біологія і т.п.

Зв'язок тригонометрії з навколишнім світом, значення тригонометрії в рішенні багатьох практичних завдань, графічні можливості тригонометричних функцій дозволяють «матеріалізувати» знання школярів. Це дозволяє краще зрозуміти життєву необхідність знань, придбаних при вивченні тригонометрії, підвищує інтерес до вивчення даної теми.

Завдання дослідження:

1.Рассмотреть історію виникнення і розвитку тригонометрії.

2.Показать на конкретних прикладах практичне використання тригонометрії в різних науках.

3.Раскрить на конкретних прикладах можливості використання тригонометричних функцій, що дозволяють «мало цікаві» функції перетворювати в функції, графіки яких мають досить оригінальний вигляд.

«Одне залишилося ясно, що світ влаштований грізно і чудово».

Н. Рубцов

тригонометрія - це розділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів і довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій. Складно уявити, але з цією наукою ми стикаємося не тільки на уроках математики, а й в нашому повсякденному житті. Ми могли не підозрювати про це, але тригонометрія зустрічається в таких науках, як фізика, біологія, не останню роль вона відіграє і в медицині, і, що найцікавіше, без неї не обійшлося навіть в музиці і архітектурі. Значну роль у розвитку навичок застосування на практиці теоретичних знань, отриманих при вивченні математики, грають завдання з практичним змістом. Кожного вивчає математику, цікавить, як і де застосовуються отримані знання. Відповідь на це питання і дає дана робота.

Історія створення тригонометрії

ранні століття

Від вавілонської математики веде початок звичне нам вимір кутів градусами, хвилинами і секундами (введення цих одиниць в давньогрецьку математику зазвичай приписують, II століття до н. Е.).

Головним досягненням цього періоду стало співвідношення катетів і гіпотенузи в прямокутному трикутнику, пізніше отримало ім'я.

Стародавня Греція

Загальна і логічно зв'язний виклад тригонометричних співвідношень з'явилося в давньогрецької геометрії. Грецькі математики ще не виділяли тригонометрію як окрему науку, для них вона була частиною астрономії.
Основним досягненням античної тригонометричної теорії стало рішення в загальному вигляді завдання «рішення трикутників», тобто знаходження невідомих елементів трикутника, виходячи з трьох заданих його елементів (з яких хоча б один є стороною).

середньовіччя

У IV столітті, після загибелі античної науки, центр розвитку математики перемістився в Індію. Вони змінили деякі концепції тригонометрії, наблизивши їх до сучасних: наприклад, вони першими ввели в експлуатацію косинус.
Першим спеціалізованим трактатом з тригонометрії було твір середньоазіатського вченого (X-XI століття) «Книга ключів науки астрономії» (995-996 роки). Цілий курс тригонометрії містив головну працю Аль-Біруні - «Канон Мас'уда» (книга III). На додаток до таблиць синусів (з кроком 15 ") Аль-Біруні дав таблиці тангенсів (з кроком 1 °).

Після того як арабські трактати були в XII-XIII століттях переведені на латину, багато ідей індійських і перських математиків стали надбанням європейської науки. По всій видимості, перше знайомство європейців з тригонометрією відбулося завдяки зіджі, два переклади якого були виконані в XII столітті.

Першим європейським твором, цілком присвяченим тригонометрії, часто називають «Чотири трактату про прямих і звернених хордах» англійського астронома (близько 1320 г.). Тригонометричні таблиці, частіше перекладні з арабського, але іноді і оригінальні, містяться в творах ряду інших авторів XIV-XV століть. Тоді ж тригонометрія зайняла місце серед університетських курсів.

Новий час

Слово «тригонометрія» вперше зустрічається (1505 г) в заголовку книги німецького теолога і математика Пітіскуса.Проісхожденіе цього слова грецьке: трикутник, міра. Іншими словами, тригонометрія-наука про вимірювання трикутників. Хоча назва виникла порівняно недавно, багато зараховують зараз до тригонометрії поняття і факти були відомі вже дві тисячі років тому.

Тривалу історію має поняття синуса. Фактично різні відносини відрізків трикутника і кола (а по суті, і тригонометричні функції) зустрічаються вже в ӀӀӀ в. до н. е в роботах великих математиків Стародавньої Греції-Евкліда, Архімеда, Аполлонія Пергського. У римський період ці відносини вже досить систематично досліджувалися Менелаем (Ӏ в. До н. Е), хоча і не набули спеціального назви. Сучасний мінус кута, наприклад вивчався як твір полухорд, на яку спирається центральний кут величиною, або як хорда подвоєною дуги.

У наступний період математика довгий час найбільш активно розвивалася індійськими і арабськими вченими. У ӀV- Vст. з'явився, зокрема, вже спеціальний термін в працях по астрономії великого індійського ученого Аріабхати (476-ок. 550), ім'ям якого названий перший індійський супутник Землі.

Пізніше прищепилося більш коротку назву джива. Арабськими математиками в ΙXв. слово джива (або джіба) було замінено на арабське слово джайб (опуклість). При перекладі арабських математичних текстів вXΙΙв. це слово було замінено латинською синус (sinus-ізгіб, кривизна)

Слово косинус набагато молодше. Косинус-це скорочення латинського виразуcomplementsinus, Тобто «додатковий синус» (або інакше «синус додаткової дуги»; згадайтеcosa= sin(90 ° - a)).

Маючи справу з тригонометричними функціями, ми суттєво виходимо за рамки завдання «вимірювання трикутників». З цього відомий математик Ф. Клейн (1849-1925) пропонував вчення про «тригонометричних» функціях називати інакше-гониометрией (кут). Однак ця назва не прищепилося.

Тангенси виникли в зв'язку з рішенням задачі про визначення довжини тіні. Тангенс (а також котангенс, секанс і косеканс) введено вXв. арабським математиком Абу-л-Вафой, який склав і перші таблиці для знаходження тангенсов і котангенсів. Однак ці відкриття довгий час залишалися невідомими європейським вченим, і тангенси були заново відкриті вXΙVв. спочатку англійським вченим Т. Бравердіном, а пізніше німецьким математиком, астрономом Регіомонтаном (1467 г). Назва «тангенс», що походить від латинськогоtanger(Стосуватися), з'явилося в 1583 рTangensперекладається як «що стосується» (згадайте: лінія тангенсів - це дотична до одиничному колі)

сучасні позначенняarcsinі arctgз'являються в 1772 р в роботах віденського математика Шерфера і відомого французького вченого Ж.Л.Лагранжа, хоча дещо раніше їх вже розглядав Я. Бернуллі, який вживав іншу символіку. Але загальноприйнятими ці символи стали лише в кінціXVΙΙΙстоліття. Приставка «арк» походить від латинськогоarcusx, Наприклад -, це кут (а можна сказати, і дуга), синус якого дорівнюєx.

Тривалий час тригонометрія розвивалася як частина геометрії, тобто факти, які ми зараз формулюємо в термінах тригонометричних функцій, формулювалися і доводили за допомогою геометричних понять і тверджень. Мабуть, найбільші стимули до розвитку тригонометрії виникали в зв'язку з вирішенням завдань астрономії, що представляло великий практичний інтерес (наприклад, для вирішення завдань визначення місцезнаходження судна, пророкувань затемнень і т, д)

Астрономів цікавили співвідношення між сторонами і кутами сферичних трикутників, складених з великих кіл, що лежать на сфері. І треба зауважити, що математики давнини вдало справлялися із завданнями, істотно більш важкими, ніж завдання на вирішенні плоских трикутників.

У всякому разі в геометричній формі багато відомих нам формули тригонометрії відкривалися і перевідкривається давньогрецькими, індійськими, арабськими математиками (правда, формули різниці тригонометричних функцій стали відомі тільки вXVΙӀ ст.- їх вивів англійський математик Непер для спрощення обчислень з тригонометричними функціями. А перший малюнок синусоїди з'явився в 1634 р)

Принципове значення мало складання К.Птолемеем першої таблиці синусів (довгий час вона називалася таблицею хорд): з'явилося практичне засіб вирішення ряду прикладних задач, і в першу чергу завдань астрономії.

Маючи справу з готовими таблицями, або користуючись калькулятором, ми часто не замислюємося про те, що був час, коли таблиці ще не були винайдені. Для того щоб скласти їх, потрібно виконати не тільки великий обсяг обчислень, але і придумати спосіб складання таблиць. Таблиці Птолемея точні до п'яти десяткових знаків включно.

Сучасного вигляду тригонометрії надав найбільший математикXVΙӀΙ століття Л. Ейлер (1707-1783), швейцарець за походженням, який довгі роки працював в Росії і був членом Петербурзької Академії наук. Саме Ейлер перший ввів відомі визначення тригонометричних функцій, став розглядати функції довільного кута, отримав формули приведення. Все це мала частка того, що за довге життя встиг зробити Ейлер в математиці: він залишив понад 800 робіт, довів багато що стали класичними теореми, які стосуються найрізноманітнішим областям математики. Але якщо ви намагаєтеся оперувати з тригонометричними функціями в геометричній формі, тобто так, як це робили багато поколінь математиків до Ейлера, то зумієте оцінити заслуги Ейлера в систематизації тригонометрії. Після Ейлера тригонометрія набула нову форму обчислення: різні факти стали доводити шляхом формального застосування формул тригонометрії, докази стали набагато компактніше, простіше.

З історії розвитку сферичної геометрії .

Широко відомо, що евклідова геометрія є однією з найбільш древніх наук .: вже вIIIстолітті до н.е. з'явився класичний працю Евкліда - «Почала». Менш відомо, що сферична геометрія лише трохи молодше. Її перша систематична виклад відноситься доI- IIстоліть. У книзі «Сферика», написаної грецьким математиком Менелаем (Iв.), вивчалися властивості сферичних трикутників; доводилася, зокрема, що сума кутів сферичного трикутника більше 180 градусів. Великий крок вперед зробив інший грецький математик Клавдій Птолемей (IIв.). По суті він перший склав таблиці тригонометричних функцій, ввів стереографической проекцію.

Так само як і геометрія Евкліда, сферична геометрія виникла при вирішенні завдань практичного характеру, і в першу чергу завдань астрономії. Ці завдання були необхідні, наприклад, мандрівникам і мореплавцям, які орієнтувалися по зірках. А оскільки при астрономічних спостереженнях зручно вважати, що і Сонце і Місяць, і зірки рухаються по зображуваної «небесній сфері», то природно, що для вивчення їх руху потрібні були знання про геометрії сфери. Тому не випадково, що найвідоміша робота Птолемея називалася «Велика математична побудова астрономії в 13 книгах».

Найважливіший період історії сферичної тригонометрії пов'язаний з діяльністю вчених Близького Сходу. Індійські вчені успішно вирішували завдання сферичної тригонометрії. Однак метод, описаний Птолемеєм і заснований на теоремі Менелая повного чотирикутника, у них не застосовувався. І в сферичної тригонометрії вони користувалися проектними методами, які відповідали методам з «Аналемма» Птолемея. В результаті ними було отримано набір певних обчислювальних правил, які давали можливість вирішити практично будь-яке завдання сферичної астрономії. З їх допомогою таке завдання зводилася в кінцевому рахунку до порівняння між собою подібних плоских прямокутних трикутників. При рішень нерідко застосовувалися теорія квадратних рівнянь і метод послідовних наближень. Прикладом астрономічної завдання, яке вирішували індійські вчені за допомогою розроблених ним правил, служить завданням, що розглядається в творі «Панга сіддхантіка» Варахаміхіра (V- VI). Вона складається знаходженні висоти Сонця, якщо відомо широта місця, відмінювання Сонця і його годинний кут. В результаті вирішення цього завдання після ряду побудов встановлюється співвідношення, яке рівносильне сучасної теоремі косинусів для сферичного трикутника. Однак і це співвідношення, і інше, еквівалентну теоремі синусів, що не були узагальнені як правила, застосовні до будь-якого сферичному трикутнику.

Серед перших східних вчених, які звернулися до обговорення теоремі Менелая, потрібно назвати братів Бану Мусса -Мухаммеда, Хасана і Ахмада, синів Муси ібн Шакіра, який працював в Багдаді і займався математикою, астрономією і механікою. Але найбільш раннім зі збережених творів про теореми Менелая є «Трактат про фігуру січних» їх учня Сабіт ібн Коррі (836-901)

Трактат Сабіт ібн Коррі дійшов до нас в арабському оригіналі ,. І в латинському перекладіXIIв. Цей переклад Геранд кремонських (1114-1187), отримав широке поширення в Середньовічній Європі.

Історія тригонометрії, як науки про співвідношення між кутами і сторонами трикутника і інших геометричних фігур, охоплює понад два тисячоліття. Більшість таких співвідношень можна виразити за допомогою звичайних алгебраїчних операцій, і тому знадобилося ввести особливі тригонометричні функції, спочатку оформлялися у вигляді числових таблиць.
Історики вважають, що тригонометрію створили древні астрономи, трохи пізніше її стали використовувати в архітектурі. Згодом область застосування тригонометрії постійно розширювалася, в наші дні вона включає практично всі природні науки, техніку і ряд інших областей діяльності.

Прикладні тригонометричні завдання відрізняються великою різноманітністю - наприклад, можуть бути задані вимірні на практиці результати дій над перерахованими величинами (наприклад, сума кутів або ставлення довжин сторін).

Паралельно з розвитком тригонометрії площині греки, під впливом астрономії, далеко просунули сферичну тригонометрію. В «Засадах» Евкліда на цю тему є тільки теорема про ставлення обсягів куль різного діаметра, але потреби астрономії та картографії викликали швидкий розвиток сферичної тригонометрії і суміжних з нею областей - системи небесних координат, теорії картографічних проекцій, технології астрономічних приладів.

курсів.

Тригонометрія і реальне життя

Тригонометричні функції знайшли застосування в математичному аналізі, фізики, інформатики, геодезії, медицині, музиці, геофізики, навігації.

Застосування тригонометрії в навігації

Навігація (це слово походить від латинськогоnavigatio- пливу на судні) - одна з найбільш древніх наук. Найпростіші задачі навігації, такі, наприклад, як визначення найкоротшого маршруту, вибір напрямку руху, встали перед найпершими мореплавцями. В даний час ці ж і інші завдання доводиться вирішувати не тільки морякам, а й льотчикам, і космонавтам. Деякі поняття і завдання навігації розглянемо детальніше.

Завдання. Відомі географічні координати - широта і довгота пунктів А і В земної поверхні:, І,. Потрібно знайти найкоротший відстань між пунктами А і В уздовж земної поверхні (радіус Землі вважається відомим:R= 6371 км)

Рішення. Нагадаємо спочатку, що широтою пункту М земної поверхні називається величина кута, утвореного радіусом ОМ, де О - центр Землі, з площиною екватора: ≤, причому Севр від екватора широта вважається позитивною, а на південь - негативною (рисунок 1)

Довгота пункту М є величина двогранного кута між площинами СОМ і СОН, де С - Північний полюс Землі, а Н - точка, що відповідає грінвічській обсерваторії: ≤ (на схід від Гринвічем меридіана довгота вважається позитивною, на захід - негативною).

Як вже відомо, найкоротша відстань між пунктами А і В земної поверхні-це довжина меншої з дуг великого кола, що з'єднує А і В (таку дугу називають ортодромії - в перекладі з грецького означає «прямий біг»). Тому наше завдання зводиться до визначення довжини сторони АВ сферичного трикутника АВС (С - північний полюс).

Застосовуючи стандартне позначення для елементів трикутника АВС і відповідного тригранного кута ОАВС, з умови задачі знаходимо: α = = -, β = (рис.2).

Кут З також не важко висловити через координати точок А і В. За визначенням ≤, тому або кут С =, якщо ≤, або -, якщо. Знаючи = за допомогою теореми косинусів: = + (-). Знаючи і, отже кут, знаходимо шукане відстань: =.

Тригонометрія в навігації 2.

Для прокладки курсу корабля на карті, виконаної в проекції Герхарда Меркатора (1569г.), Необхідно було визначати широту. При плаванні по Середземному морю в лоціях доXVIIв. широта не вказувалася. Вперше застосував тригонометричні розрахунки в навігації Едмонд Гюнтер (1623).

Тригонометрія допомагає розраховувати вплив вітру на політ літака. Трикутник швидкостей - це трикутник, утворений вектором повітряної швидкості (V), Вектором вітру (W), Вектором шляховий швидкості (Vп ). ПУ - шляховий кут, УВ - кут вітру, КУВ - курсовий кут вітру.

Залежність між елементами навігаційного трикутника швидкостей має вигляд:

V п = V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ =

Навігаційний трикутник швидкостей вирішується за допомогою рахункових пристроїв, на навігаційній лінійці і наближено в розумі.

Тригонометрія в алгебрі.

Ось приклад вирішення складного рівняння за допомогою тригонометричної підстановки.

дано рівняння

нехай , отримаємо

;

звідки: або

з урахуванням обмежень отримаємо:

Тригонометрія в фізиці

Скрізь, де доводиться мати справу з періодичними процесами і коливаннями - будь то акустика, оптика або хитання маятника, ми маємо справу з тригонометричними функціями. Формули коливань:

де A- амплітуда коливання, - кутова частота коливання, початкова фаза коливання

Фаза коливання.

sin α / sin β = n 1 / n 2

де:

n 1 - показник заломлення першого середовища
n 2 - показник заломлення другого середовища

α -кут падіння, β -кут заломлення світла.

Проникнення в верхні шари атмосфери планет заряджених частинок сонячного вітру визначається взаємодією магнітного поля планети з сонячним вітром.

Сила, що діє на рухому в магнітному полі заряджену частинку, називається силою Лоренца. Вона пропорційна заряду частинки і векторному добутку поля і швидкості руху частинки.

В якості практичного прикладу розглянемо фізичну задачу, яка вирішується із застосуванням тригонометрії.

Завдання. На похилій площині, що становить з горизонтом кут 24,5про , Знаходиться тіло масою 90 кг. Знайдіть, з якою силою це тіло тисне на похилу площину (тобто який тиск чинить тіло на цю площину).

Рішення:

Позначивши осі Х і У, почнемо будувати проекції сил на осі, для початку скориставшись цією формулою:

ma = N + mg , Потім дивимося на малюнок,