Віднімання. Загальне уявлення про вирахування натуральних чисел Віднімання багатозначних чисел

У цій статті ми поговоримо про дію, яке називається відніманням. Спочатку дамо загальне уявлення про вирахування, після чого, грунтуючись на розумінні віднімання, додамо сенс віднімання натуральних чисел. Далі введемо термінологію і позначення. Наприкінці розглянемо коло завдань, що вирішуються за допомогою вирахування.

Навігація по сторінці.

Віднімання - загальне уявлення про цю дію.

Віднімання - це дія, зворотне додаванню (дивіться розділ додавання - загальне уявлення про цю дію). Якщо складання пов'язано з об'єднанням двох множин в одне, то віднімання пов'язано з роз'єднанням даної множини на два безлічі.

Додамо конкретики.

Нехай у нас є деякий безліч предметів. Візьмемо один або кілька предметів з цієї множини і приберемо в сторону. При цьому можна сказати, що ми віднялиабо відняликілька предметів з самого початку даної множини. Тобто, сенс вирахування полягає у виключенні деякого безлічі предметів з даної множини предметів.

Сенс віднімання натуральних чисел.

Нам відомо, що сенс складання натуральних чисел, які відповідають кількостям складаються предметів, полягає в отриманні інформації про загальну кількість предметів. А який сенс віднімання двох натуральних чисел?

Віднімання двох натуральних чисел можна розглянути з двох рівноправних позицій. При цьому сенс віднімання двох натуральних чисел буде залежати від того, який сенс надати віднімати числа.

Отже, результат віднімання двох натуральних чисел вказує

або кількість предметів, яке залишиться, якщо з даного їх безлічі прибрати дане кількість предметів,
або кількість предметів, яке потрібно прибрати з даного їх безлічі, щоб залишилося потрібну кількість предметів.

Наведемо приклад для першого випадку. Нехай у нас є 7 яблук. Віднімання нам дозволяє з'ясувати, скільки яблук у нас залишиться після того, як ми віддамо кому-небудь, наприклад, 2 яблука. В цьому випадку ми з 7 яблук віднімаємо (віддаємо) 2 яблука.

Проілюструємо другий випадок. Нехай у нас 7 яблук. За допомогою вирахування ми можемо дізнатися, скільки яблук нам потрібно віддати, щоб у нас залишилося, наприклад, 3 яблука. В цьому випадку різниця 7-3 вкаже нам шукану кількість яблук, яке потрібно віддати.

У розглянутому сенсі віднімання натуральних чисел можливо лише тоді, коли число, з якого віднімають, більше або дорівнює числу, яке віднімають (ми ж не можемо віддати більшу кількість яблук, ніж те, яким володіємо). Ми будемо суворо дотримуватися цього обмеження при подальшому вивченні віднімання натуральних чисел.

Зрозуміло, що результатом вирахування двох натуральних чисел є натуральне число або нуль (нагадаємо, що нуль означає відсутність чого-небудь). Причому нуль виходить тільки тоді, коли натуральне число, з якого віднімають, дорівнює числу, яке віднімають (якщо ми віддамо всі предмети, які у нас є, то у нас не залишиться жодного предмета).

Зменшуване, від'ємник, різниця, знак мінус «-».

Давайте визначимося з термінологією і позначеннями.

Для позначення віднімання на листі будемо використовувати знак мінусвиду «-». Спочатку будемо записувати натуральне число, з якого ми віднімаємо, після цього - знак мінус, потім - натуральне число, яке віднімаємо. Наприклад, запис 9-5 (подібні записи називаються) означає, що з 9 віднімається 5.

Тепер введемо необхідні терміни. зменшуване- це число, з якого віднімають. від'ємник- це число, яке віднімають з зменшуваного. різниця- це число, яке є результатом вирахування.

Різницями будемо також називати числові вирази, складені з зменшуваного і від'ємника зі знаком мінус між ними. Наприклад, в різниці 3-1 натуральне число 3 є зменшуваним, а число 1 - віднімаються.

фрази « знайти різницю», « обчислити різницю», « відняти з натурального числа 36 число 3" і т.п. будемо розуміти так: потрібно визначити число, яке є результатом вирахування даних натуральних чисел.

Обговоримо ще один момент, що стосується запису зменшуваного, від'ємника і результату віднімання у вигляді рівності. Припустимо, ми з'ясували, що натуральне число 11 є результатом вирахування числа 24 з числа 35. Тоді цей результат будемо записувати у вигляді рівності 35-24 = 11 (про знак рівності ми говорили в розділі рівні натуральні числа). Цей запис можна прочитати одним із таких способів: «з 35 відняти 24 дорівнює 11» або «від 35 відняти 24 дорівнює 11».

Отже, схематично віднімання двох натуральних чисел виглядає наступним чином:
зменшуване - від'ємник = різниця.

Основні завдання, які вирішуються за допомогою вирахування.

По-перше, віднімання дозволяє вирішувати завдання, пов'язані з кількостями предметів до і після їх розбиття на два безлічі.

Приклад завдання на знаходження кількості предметів, яке залишається після вилучення деякого їх кількості з початкової множини, ми вже розглянули, коли говорили про сенс віднімання натуральних чисел.

Іншим завданням такого типу є завдання на знаходження кількості предметів, які потрібно прибрати з даного їх безлічі, щоб залишилося необхідну кількість предметів.

Наведемо приклад такого завдання. Нехай у нас є 8 яблук. Скільки яблук нам потрібно віддати, щоб у нас залишилося 6 яблук? Шукана кількість дорівнює різниці натуральних чисел 8 і 6.

По-друге, віднімання дозволяє вирішувати завдання, пов'язані зі зміною значення будь-яких вимірювань (довжини, площі, обсягу, швидкості, маси, часу і т.п.).

Наведемо приклад. Від шматка тканини площею 9 квадратних метрів відрізали шматок, площею 5 квадратних метрів. Різниця натуральних чисел 9 і 5 показує, скільки тканини залишилося. Ось ще один приклад. Зараз температура повітря становить 15 градусів Цельсія, а годину тому становила 21 градус. Якщо ми віднімемо від числа 21 число 15, то дізнаємося, на скільки градусів змінилася температура за минулий час.

По-третє, віднімання дозволяє дізнатися різницю між кількостями предметів в двох множинах, а також різницю між двома вимірами будь-якої величини (маси, часу, обсягу і т.п.).

Нехай, наприклад, перший мотоцикліст проїхав 100 кілометрів, а другий - 80. Якщо ми віднімемо з числа 100 число 80, то дізнаємося, на скільки кілометрів відрізняються шляху мотоциклістів. Ще приклад. У перший ставок запустили 3 500 мальків риб, а в другій - 7 500 мальків риб. Провівши віднімання з числа 7 500 числа 3 500, ми дізнаємося, на скільки відрізняються кількості запущених риб в ці ставки.

Список літератури.

Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх установ.
Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх установ.

Слово «різниця» може вживатися в багатьох значеннях. Це може означати і різницю чого-небудь, наприклад, думок, поглядів, інтересів. У деяких наукових, медичних та інших професійних сферах цим терміном позначають різні показники, наприклад, рівня цукру в крові, атмосферного тиску, погодних умов. Поняття «різниця», як математичний термін теж існує.

Вконтакте

Однокласники

Арифметичні дії з числами

Основними арифметичними діями в математиці є:

складання;
віднімання;
множення;
поділ.

Кожен результат цих дій також має свою назву:

сума - результат, отриманий при додаванні чисел;
різницю - результат, отриманий при відніманні чисел;
твір - результат множення чисел;
приватне - результат ділення.

Більш простою мовою пояснюючи поняття суми, різниці, добутку і частки в математиці, можна спрощено записати їх лише як словосполучення:

сума - додати;
різницю - відняти;
твір - помножити;
приватне - розділити.

розглядаючи визначення, Що ж таке різниця чисел в математиці, можна позначити це поняття декількома способами:

І всі ці визначення є вірними.

Як знайти різницю величин

Візьмемо за основу то позначення різниці, яке нам пропонує шкільна програма:

Різницею називається результат віднімання одного числа з іншого. Перше з цих чисел, з якого здійснюється віднімання, називається зменшуваним, а друге, яке віднімають з першого, називається від'ємником.

Ще раз вдавшись до шкільної програми, ми знаходимо правило, як знайти різницю:

Щоб знайти різницю, треба від зменшуваного відняти від'ємник.

Все зрозуміло. Але при цьому ми отримали ще кілька математичних термінів. Що вони означають?

Зменшуване - це математичне число, від якого віднімають і воно зменшується (стає менше).
Від'ємник - це математичне число, яке віднімають з зменшуваного.

Тепер зрозуміло, що різниця складається з двох чисел, які для її обчислення повинні бути відомі. А як їх знайти теж скористаємося визначеннями:

Щоб знайти зменшуване, треба до вичитав додати різницю.
Щоб знайти від'ємник, потрібно від зменшуваного відняти різницю.

Математичні дії з різницею чисел

Спираючись на виведені правила, можна розглянути наочні приклади. Математика, цікава наука. Ми тут візьмемо для вирішення лише найпростіші цифри. Навчившись віднімати їх, ви навчитеся вирішувати і більш складні значення, тризначні, чотиризначні, цілі, дробові, в ступенях, коренях, інші.

прості приклади

Приклад 1. Знайти різницю двох величин.

20 - зменшуване значення,

15 - від'ємник.

Рішення: 20 - 15 = 5

Відповідь: 5 - різниця величин.

Приклад 2. Знайти зменшуване.

48 - різниця,

32 - від'ємник значення.

Рішення: 32 + 48 = 80

Приклад 3. Знайти від'ємник значення.

7 - різниця,

17 - зменшується величина.

Рішення: 17 - 7 = 10

Відповідь: від'ємник значення 10.

Більш складні приклади

На прикладах 1-3 розглянуті дії з простими цілими числами. Але в математиці різницю вираховують із застосуванням не тільки двох, але і декількох чисел, а також цілих, дробових, раціональних, ірраціональних, ін.

Приклад 4. Знайти різницю трьох значень.

Дано цілі значення: 56, 12, 4.

56 - зменшуване значення,

12 і 4 - віднімаються значення.

Рішення можна виконати двома способами.

1 спосіб (послідовне віднімання віднімаються значень):

1) 56 - 12 = 44 (тут 44 - вийшла різниця двох перших величин, яка в другій дії буде зменшуваним);

2 спосіб (віднімання з зменшуваного суми двох віднімаються, які в такому випадку називаються складовими):

1) 12 + 4 = 16 (де 16 - сума двох доданків, яка в наступному дії буде від'ємником);

2) 56 - 16 = 40.

Відповідь: 40 - різниця трьох значень.

Приклад 5. Знайти різницю раціональних дробових чисел.

Дано дроби з однаковими знаменниками, де

4/5 - зменшується дріб,

3/5 - віднімається.

Щоб виконати рішення, потрібно повторити дії з дробами. Тобто, треба знати як віднімати дроби з однаковими знаменником. Як поводитися з дробами, що мають різні знаменники. Їх треба вміти привести до спільного знаменника.

Рішення: 4/5 - 3/5 = (4 - 3) / 5 = 1/5

Відповідь: 1/5.

Приклад 6. ранок різницю чисел.

А як виконати такий приклад, коли потрібно подвоїти або потроїти різницю?

Знову вдамося до правил:

Подвоєне число - це величина, помножена на два.
Утроенное число - це величина, помножена на три.
Подвоєна різницю - це різниця величин, помножена на два.
Потроєна різниця - це різниця величин, помножена на три.

7 - зменшується величина,

5 - віднімається величина.

2) 2 * 3 = 6. Відповідь: 6 - різниця чисел 7 і 5.

Приклад 7. Знайти різницю величин 7 і 18.

7 - зменшується величина;

18 - віднімається.

Начебто все зрозуміло. Стоп! Від'ємник більше зменшуваного?

І знову є що застосовується для конкретного випадку правило:

Якщо від'ємник більше зменшуваного, різниця виявиться негативною.

Відповідь: - 11. Це негативне значення і є різниця двох величин, за умови, що віднімається величина більше зменшується.

Математика для блондинок

У Всесвітній павутині можна знайти масу тематичних сайтів, які дадуть відповідь на будь-яке питання. Точно так же в будь-яких математичних розрахунках вам допоможуть онлайн-калькулятори на будь-який смак. Всі розрахунки, вироблені на них, прекрасна підмога для квапливих, недопитливу, ледачих. Математика для блондинок - один з таких ресурсів. Причому вдаємося до нього ми всі, незалежно від кольору волосся, статі і віку.

У школі подібні дії з математичними величинами нас вчили обчислювати в стовпчик, а пізніше - на калькуляторі. Калькулятор - це також зручний підмога. Але, для розвитку мислення, інтелекту, кругозору та інших життєвих якостей, радимо проводити арифметичні дії на папері або навіть в розумі. Краса людського тіла - це велике досягнення сучасного фітнес-плану. Але мозок - це теж м'яз, яка вимагає іноді її качати. А значить, не відкладаючи, починайте думати.

І нехай на початку шляху обчислення зводяться до примітивних прикладів, все у вас попереду. А освоїти доведеться чимало. Ми бачимо, що дій з різними величинами в математиці безліч. Тому крім різниці необхідно вивчити, як обчислити і інші результати арифметичних дій:

суму - складанням доданків;
твір - множенням множників;
приватне - діленням діленого на дільник.

Ось така цікава арифметика.

Відняти значить відняти одне число від іншого.

Віднімання є така дія, в якому віднімають менше число від більшого.При відніманні цілих чисел більше число зменшується на стільки одиниць, скільки їх міститься в меншому. Відняти одне число з іншого означає зменшитиодне число іншим, тому віднімання є дію зворотне додаванню.

У відніманні два даних числа називаються зменшуваним і віднімаються , А шукане - різницею .

Зменшуваним називають більшу кількість, від якого віднімають інше.Воно зменшується від віднімання.

Від'ємником називають меншу кількість, яке віднімають від більшого.

Різницею називають висновок, отриманий від віднімання.Різниця визначає, ніж одне число більше іншого або показує різницю між двома числами.

знак віднімання. Дія віднімання позначається знаком - (мінус).

Віднімання однозначних чисел

Щоб позначити, що з 9 потрібно відняти 6, пишуть ці числа поруч, відокремлюючи їх знаком - (мінус):

Різниця між цими числами буде 3, і хід обчислення висловлюють словесно:

дев'ять без шести дорівнює трьом.

письмово:

Більше число 9 буде зменшуваним, менше 6 від'ємником, число 3 залишком.

способи вирахування

Можна двома способами відняти одне число з іншого:

або можна відняти від більшого числа стільки одиниць, скільки їх міститься в меншому. Так, з 9 відняти 6 значить від 9 відняти 6. Число 3 буде шуканий залишок;

або можна до меншого числа додавати по одиниці до тих пір, поки не отримаємо більше число. Так, віднімаючи 6 з 9, ми до 6 додаємо 3 одиниці. Число одиниць, яке потрібно додати до меншого числа, щоб зрівняти його з великим, визначає різницю. Менша кількість з різницею має дорівнювати більшому числу, отже, менше число і різниця суть складові, а більше - їх сума. На цьому засновано інше визначення вирахування:

Віднімання є така дія, в якому по даній сумі і одному доданку відшукується інше доданок.

В цьому випадку дана сума є зменшуване, дане доданок - від'ємник, а позовома я різницю- інше доданок.

Віднімання багатозначних чисел

Віднімання багатозначних чисел ґрунтується на тому властивості чисел, за яким відняти число все-одно, що відняти всі його частини. З цієї властивості видно, що відняти яке-небудь число все-одно, що відняти послідовно всі його одиниці, десятки, сотні і т. Д. Щоб позначити, що з числа 7228 потрібно відняти 3517, пишуть:

і віднімають окремо одиниці з одиниць, десятки з десятків і т. д.

Щоб полегшити віднімання, підписують менше число під великим так, щоб одиниці однакових порядків знаходилися в одному вертикальному стовпці, проводять межу, зліва ставлять знак віднімання - і під межею підписують різницю.

Хід обчислення висловлюють словесно:

Починаємо віднімання з простих одиниць: 8 без 7 становлять 1; підписують під одиницями 1.

віднімаємо десятки: 2 без 1 дають 1, підписуємо під десятками 1.

віднімаємо сотні. П'ять не можна відняти з 2, тому займаємо у наступного вищого порядку (тисяч) одиницю, що і позначаємо тим, що над 7 ставимо крапку. Одиниця кожного порядку містить 10 одиниць наступного меншого порядку. Приєднуючи ці 10 одиниць до 2, отримаємо 12; 12 без 5 складають 7, підписуємо під сотнями 7. Коли займають одиницю у вищого порядку, позначають це тим, що ставлять крапку над порядком, у якого займають.

Віднімаємо тисячі.Тисяч залишилося замість 7 тільки 6, бо одна була взята. 6 без 3 складають 3; підписуємо під тисячами 3.

Хід обчислення висловлюють письмово:

приклад. З 17004 відняти 6025.

З 4 не можна відняти 5. Займаємо одиницю у десятків, наступного вищого порядку, але в цьому порядку одиниць немає; займаємо у сотень, - і сотень немає; займаємо у тисяч і позначаємо це точкою над цифрою 7.

Одиниця четвертого має 10 одиниць третього порядку. Взявши з них одну для десятків, залишаємо їх у сотнях тільки 9. Приєднавши 10 до 4, маємо 14.

Виробляючи віднімання, отримаємо:

для одиниць 14 - 5 = 9

для десятків 9 - 2 = 7

для сотень 9 - 0 = 9

для тисяч 6 - 6 = 0

Для десятків тисяч маємо 1, бо цю цифру зменшуваного переносимо в різницю без зміни.

Хід обчислення виразиться письмово:

З попередніх прикладів виводимо правила віднімання:

Щоб зробити віднімання цілих чисел, потрібно від'ємник підписати під зменшуваним так, щоб одиниці однакових порядків стояли в одному вертикальному стовпці, провести межу, під якою і підписати різницю.

Віднімання потрібно починати з простих одиниць, тобто з першого стовпчика, і потім, переходячи до наступних стовпчиках від правої руки до лівої, віднімають десятки з десятків, сотні з сотень і т. Д.

Якщо цифра від'ємника менше цифри зменшуваного, різниця підписують в тому ж стовпці; якщо цифри дорівнюють, різниця буде нуль. Якщо ж цифра від'ємника більше відповідної цифри зменшуваного, займають одиницю у такого порядку зменшуваного, відзначаючи це точкою, поставленої над цифрою, у якій займають, прикладають 10 до цифри зменшуваного і виробляють віднімання. Цифру ж з точкою вважають на одиницю менше.

Якщо при відніманні цифра зменшуваного, у якого займають, буде 0, за яким в зменшуваному слідують теж нулі, то займають у першої значущої цифри, ставлячи над нею і всіма проміжними нулями точки. Цифру з точкою вважають на одиницю менше, а нулі з точкою вважають за 9.

Віднімання продовжують до тих пір, поки не отримають повної різниці.

Зайві цифри зменшуваного переносять в різницю.

Залежність між даними і шуканими вирахування

З прикладу 9 - 6 = 3 видно, що

Зменшуване одно віднімається, складеному з різницею: 9 = 6 + 3.

Від'ємник одно зменшуваного без різниці: 6 = 9 - 3.

Різниця дорівнює зменшуваного без від'ємника: 3 = 9 - 6.

арифметичне доповнення. Різниця між числом і найближчій більшої одиницею називається арифметичним доповненням. Так, арифметичними доповненнями чисел 7, 79, 983 будуть числа:

10 - 7 = 3
100 - 79 = 21
1000 - 983 = 17

Арифметичним доповненням іноді користуються для полегшення арифметичних обчислень.