Де в житті застосовуються тригонометричні функції. Застосування тригонометрії в мистецтві і архітектурі

Синус, косинус, тангенс - при проголошенні цих слів в присутності учнів старших класів можна бути впевненим, що дві третини з них втратять інтерес до подальшої розмови. Причина криється в тому, що основи тригонометрії в школі викладаються в повному відриві від реальності, а тому учні не бачать сенсу у вивченні формул і теорем.

Насправді дана галузь знань при найближчому розгляді виявляється вельми цікавою, а також прикладної - тригонометрія знаходить застосування в астрономії, будівництві, фізики, музики і багатьох інших областях.

Ознайомимося з основними поняттями і назвемо кілька причин вивчити цей розділ математичної науки.

Історія

Невідомо, в який момент часу людство почало створювати майбутню тригонометрію з нуля. Однак документально зафіксовано, що вже в другому тисячолітті до нашої ери єгиптяни були знайомі з азами цієї науки: археологами знайдений папірус із завданням, в якій потрібно знайти кут нахилу піраміди за двома відомими сторонами.

Більш серйозних успіхів досягли вчені Стародавнього Вавилона. Протягом століть займаючись астрономією, вони освоїли ряд теорем, ввели особливі способи вимірювання кутів, якими, до речі, ми користуємося сьогодні: градуси, хвилини і секунди були запозичені європейською наукою в греко-римській культурі, в яку дані одиниці потрапили від вавилонян.

Передбачається, що знаменита теорема Піфагора, що відноситься до основ тригонометрії, була відома вавилонянам майже чотири тисячі років тому.

Назва

Дослівно термін «тригонометрія» можна перекласти як «вимір трикутників». Основним об'єктом вивчення в рамках даного розділу науки протягом багатьох століть був прямокутний трикутник, а точніше - взаємозв'язок між величинами кутів і довжинами його сторін (сьогодні з цього розділу починається вивчення тригонометрії з нуля). У житті трапляються ситуації, коли практично виміряти всі необхідні параметри об'єкта (або відстань до об'єкта) неможливо, і тоді виникає необхідність відсутні дані отримати за допомогою розрахунків.

Наприклад, в минулому людина не могла виміряти відстань до космічних об'єктів, а ось спроби ці відстані розрахувати зустрічаються задовго до настання нашої ери. Найважливішу роль грала тригонометрія і в навігації: володіючи деякими знаннями, капітан завжди міг зорієнтуватися вночі по зірках і скорегувати курс.

Основні поняття

Для освоєння тригонометрії з нуля потрібно зрозуміти і запам'ятати кілька основних термінів.

Синус деякого кута - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Уточнимо, що протилежний катет - це сторона, що лежить навпроти розглянутого нами кута. Таким чином, якщо кут складає 30 градусів, синус цього кута завжди, при будь-якому розмірі трикутника, буде дорівнює ½. Косинус кута - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс - це відношення протилежного катета до прилеглого (або, що те ж саме, відношення синуса до косинусу). Котангенс - це одиниця, поділена на тангенс.

Варто згадати і знамените число Пі (3,14 ...), яке представляє собою половину довжини окружності з радіусом в одну одиницю.

Популярні помилки

Люди, які вивчають тригонометрію з нуля, здійснюють ряд помилок - в основному через неуважність.

По-перше, при вирішенні завдань з геометрії необхідно пам'ятати, що використання синусів і косинусів можливо тільки в прямокутному трикутнику. Трапляється, що учень «на автоматі» приймає за гіпотенузу найдовшу сторону трикутника і отримує невірні результати обчислень.

По-друге, спочатку легко переплутати значення синуса і косинуса для обраного кута: нагадаємо, що синус 30 градусів чисельно дорівнює косинусу 60, і навпаки. При підстановці невірного числа всі подальші розрахунки виявляться невірними.

По-третє, поки завдання повністю не вирішена, не варто округляти які б то не було значення, витягувати коріння, записувати звичайну дріб у вигляді десяткового. Часто учні прагнуть отримати в завданні з тригонометрії «красиве» число і відразу ж витягають корінь з трьох, хоча рівно через одну дію цей корінь можна буде скоротити.

Етимологія слова «синус»

Історія слова «синус» воістину незвичайна. Справа в тому, що буквальний переклад цього слова з латини означає «западина». Все тому, що правильне розуміння слова загубилося при перекладі з однієї мови на іншу.

Назви базових тригонометричних функцій відбулися з Індії, де поняття синуса позначалося словом «тятива» на санскриті - справа в тому, що відрізок разом з дугою кола, на яку він спирався, був схожий на цибулю. За часів розквіту арабської цивілізації індійські досягнення в області тригонометрії були запозичені, і термін перейшов в арабську мову у вигляді транскрипції. Сталося так, що в цій мові вже було схоже слово, що позначає западину, і якщо араби розуміли фонетичну різницю між рідним і запозиченим словом, то європейці, що переводять наукові трактати на латину, помилково буквально перевели арабське слово, ніякого відношення до поняття синуса не має . Їм ми і користуємося донині.

таблиці значень

Існують таблиці, в які занесені числові значення для синусів, косинусів і тангенсів всіх можливих кутів. Нижче наведемо дані для кутів в 0, 30, 45, 60 і 90 градусів, які необхідно вивчити як обов'язковий розділ тригонометрії для «чайників», благо запам'ятати їх досить легко.

Якщо трапилося так, що числове значення синуса або косинуса кута «вилетіло з голови», є спосіб вивести його самостійно.

геометричне уявлення

Накреслимо коло, через його центр проведемо осі абсцис і ординат. Вісь абсцис розташовується горизонтально, вісь ординат - вертикально. Зазвичай вони підписуються як «X» і «Y» відповідно. Тепер з центру кола проведемо пряму таким чином, щоб між нею і віссю X вийшов потрібний нам кут. Нарешті, з тієї точки, де пряма перетинає коло, опустимо перпендикуляр на вісь X. Довжина отриманого відрізка буде дорівнює чисельному значенню синуса нашого кута.

Даний спосіб є вельми актуальним, якщо ви забули потрібне значення, наприклад, на іспиті, і підручника з тригонометрії під рукою немає. Точної цифри ви таким чином не отримаєте, але різницю між ½ і 1,73 / 2 (синус і косинус кута в 30 градусів) ви точно побачите.

застосування

Одними з перших фахівців, які використовують тригонометрію, були моряки, які не мають ніякого іншого орієнтиру у відкритому морі, крім неба над головою. Сьогодні капітани кораблів (літаків і інших видів транспорту) не шукають найкоротший шлях по зірках, зате активно вдаються до допомоги GPS-навігації, яка без використання тригонометрії була б неможлива.

Практично в кожному розділі фізики вас чекають розрахунки з використанням синусів і косинусів: будь то додаток сили в механіці, розрахунки шляху об'єктів в кінематиці, коливання, поширення хвиль, заломлення світла - без базової тригонометрії в формулах просто не обійтися.

Ще одна професія, яка немислима без тригонометрії - це геодезист. Використовуючи теодоліт і нівелір або більш складний прилад - тахіометр, ці люди вимірюють різницю в висоті між різними точками на земній поверхні.

повторюваність

Тригонометрія має справу не тільки з кутами і сторонами трикутника, хоча саме з цього вона починала своє існування. У всіх областях, де присутня циклічність (біології, медицині, фізиці, музиці і т. Д.) Ви зустрінетеся з графіком, назва якого напевно вам знайоме - це синусоїда.

Такий графік є розгорнуту вздовж осі часу окружність і зовні схожий на хвилю. Якщо ви коли-небудь працювали з осцилографом на заняттях з фізики, ви розумієте, про що йде мова. Як музичний еквалайзер, так і прилад, що відображає серцеві ритми, використовують формули тригонометрії в своїй роботі.

На закінчення

Замислюючись про те, як вивчити тригонометрію, більшість учнів середньої та старшої школи починають вважати її складною і непрактичною наукою, оскільки знайомляться лише з нудною інформацією з підручника.

Що стосується непрактичність - ми вже побачили, що в тій чи іншій мірі уміння поводитися з синусами і тангенса потрібно практично в будь-якій сфері діяльності. А що стосується складності ... Подумайте: якщо люди користувалися цими знаннями більше двох тисяч років тому, коли доросла людина мав менше знань, ніж сьогоднішній старшокласник, чи реально вивчити дану галузь науки на базовому рівні особисто вам? Кілька годин вдумливих занять з вирішенням завдань - і ви досягнете своєї мети, вивчивши базовий курс, так звану тригонометрію для «чайників».

Керівник: Козлова Людмила Василівна

Мета роботи: Вивчити використання тригонометрії в медицині. Після виконаної роботи, я вивчила використання тригонометрії в медицині: складання біоритмів людини, кардіології. Вона дає основу для складань формул органів людини, що згодом допоможе лікувати будь-які захворювання. Дана робота розповідає, в яких саме сферах медицини застосовуються знання з тригонометрії. Завдяки цій роботі я з'ясувала основні принципи читання електрокардіограми і самостійно зможу відрізнити нормальний результат обстеження, від яскравих відхилень.

ВСТУП

Актуальність: Вперше з тригонометрією я зіткнулася в восьмому класі, коли ми почали вивчати ази цього розділу математики. Найпростіші правила визначення синуса і косинуса здалися мені дуже легкими, тому не викликали особливого інтересу. Пізніше, коли я почала вчитися в десятому класі, то було ясно відразу, що трігонометрія- це величезний розділ математики, який об'єднує велику кількість знань і теорії. Надалі я з'ясувала, що знання про тригонометрії дуже універсальні для всіх областей діяльності. Вони мають широке застосування в астрономії, географії, теорії музики, аналіз фінансових ринків, електроніки, теорії ймовірності, статистиці, біології, медицині, фармацевтики, хімії, криптографії та багато інших.

Тригонометрія (від грец. Τρίγωνον (трикутник) і грец. Μέτρεο (міряю), тобто вимір трикутників) - розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції і їх використання в геометрії.

Термін «тригонометрія» ввів у вживання в 1595 німецький математик і богослов Варфоломій Пітіск, автор підручника з тригонометрії і тригонометричних таблиць. До кінця 16 ст. більшість тригонометричних функцій було вже відомо, хоча саме це поняття ще не існувало.

Вчені обробляли дані вимірювань, щоб вести календар і правильно визначати час початку сівби і збору врожаю, дати релігійних свят. За зірками обчислювали місцезнаходження корабля в море або напрямок руху каравану в пустелі. Як відомо, тригонометрія застосовується не тільки в математиці, але і в інших сферах науки. Дана робота розповідає, в яких саме сферах медицини застосовуються знання з геометрії.

Одне з головних застосувань - кардіологія. Апарати ЕКГ знімають кардіограму у людей, фіксуючи удари серця. Після спілкування з фахівцем з читання графіків електрокардіограми я з'ясувала, щографік є зміненою синусоїдою. І тут важлива кожна нерівність графіка. Кількість інтервалів і зубців, максимум і мінімум стрибків, протяжність періодів: все це грає важливу роль у визначенні діагнозу і правильності лікування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

МЕТА: Вивчити використання тригонометрії в медицині.

ЗАВДАННЯ:

Вивчити історію тригонометрії.

З'ясувати, в яких сферах медицини застосовується тригонометрія.

Виконати практичну частину роботи, з'ясувати принцип, на який спираються лікарі-кардіологи, читаючи графік електрокардіограми.

1.2.Історія

Перші тригонометричні таблиці мабуть були складені Гиппархом, який зараз відомий як «батько тригонометрії».

Давньогрецькі математики в своїх побудовах, пов'язаних з вимірюванням дуг кола, використовували техніку хорд. Перпендикуляр до хорди, опущений з центра кола, ділить навпіл дугу і спирається на неї хорду. Половина поділеної навпіл хорди - це синус половинного кута, і тому функція синус відома також як «половина хорди». Для компенсації відсутності таблиці хорд математики, часів Аристарха, іноді використовували добре відому теорему, в сучасній записи -

де 0 °< β < α < 90°,

Перші тригонометричні таблиці були, ймовірно, складені Гиппархом Нікейським (180-125 років до н. Е.). Гіппарх був першим, хто звів в таблиці відповідні величини дуг і хорд для серії кутів. Систематичне використання повної окружності в 360 ° встановилося в основному завдяки Гиппарху.

Пізніше Клавдій Птолемей (90 - 168 р. Н.е..) В «Альмагест» розширив Гіппархови «Хорди в окружності». Тринадцять книг «Альмагеста» - найбільш значуща тригонометрическая робота всієї античності. Пізніше Птолемей вивів формулу половинного кута. Птолемей використовував ці результати для створення своїх тригонометричних таблиць, які не збереглися до наших днів.

Заміна хорд синусами стала головним досягненням середньовічної Індії. З VIII століття вчені країн Близького і Середнього Сходу розвинули тригонометрію. Після того як трактати мусульманських вчених були переведені на латину, багато ідей стали надбанням європейської та світової науки.

2. ТРИГОНОМЕТРІЯ В МЕДИЦИНІ

2.1.БІОРІТМИ

Біоритми - періодично повторювані зміни характеру і інтенсивності біологічних процесів та явищ. Вони властиві живої матерії на всіх рівнях її організації-від молекулярних до біосфери. Одні біологічні ритми відносно самостійні (частота скорочень серця, дихання), інші пов'язані з пристосуванням організмів до геофізичних циклів - добовим (коливання інтенсивності поділу клітин, обміну речовин).

Людина з дня народження знаходиться в трьох, біоритми: Фізичному, емоційному та інтелектуальному.

Фізичний цикл дорівнює 23 дням. Він визначає енергію людини, його силу, витривалість, координацію руху.

Емоційний цикл (28 дня) обумовлює стан нервової системи і настрій.

Інтелектуальний цикл (33 дня) визначає творчу здатність особистості.

Будь-який з циклів складається з двох напівперіодів, позитивного і негативного.

Протягом першої половини фізичного циклу людина енергійна і досягає кращих результатів у своїй діяльності; в другій половині циклу енергійність поступається лінощів.

У першій половині емоційного циклу чоловік весел, агресивний, оптимістичний, переоцінює свої можливості, у другій половині - дратівливий, легко порушимо, недооцінює свої можливості, песимістичний, все критично аналізує.

Рис.1. біоритми

Модель біоритмів будують за допомогою графіків тригонометричних функцій. В інтернеті знаходиться величезна кількість сайтів, які займаються розрахунком біоритмів. Для цього необхідно ввести дату народження людини (день, місяць, рік) і тривалість прогнозу.

2.2. ФОРМУЛА СЕРЦЯ

В результаті дослідження, проведеного студентом іранського університету Шираз Вахідом-Резой Аббасі, медики вперше отримали можливість упорядкувати інформацію, що відноситься до електрокардіографії.

Формула, що отримала назву тегеранській,є комплексним алгебраїчно-тригонометрическое рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів і 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії. Як стверджують медики, ця формула в значній мірі полегшує процес опису основних параметрів діяльності серця, прискорюючи, постановку діагнозу і початок лікування.

На даний момент не відома точна інформація стосується питання, ведуться активні роботи і дослідження з даної теми.

Російські вчені вивели математичну формулу серця. Завдяки цим рівнянням можна вирахувати, спрогнозувати і запобігти будь-якому серцеве захворювання. Єдина в Росії лабораторія математичної фізіології діє при Екатеринбургском Інституті імунології та фізіології.

Проблема математичних описів фізіологічних функцій організму - друга за значимістю проблема після проблеми ДНК людини. В майбутньому будуть обчислені формули інших органів людини, і медики за допомогою елементарних рівнянь зможуть прогнозувати і лікувати будь-яку хворобу.

Людина - дуже складний механізм, в якому безперервно відбуваються фізичні і хімічні процеси. Якщо всі процеси, перевести на мову рівнянь, то можна буде вивести єдину формулу людини.

Математики створили модель серцевого м'яза, яку біологи віртуально з'єднали зі справжньою живою тканиною. У комп'ютерній програмі вчені ставлять серцю різні навантаження і спостерігають, як воно поводиться. Вивчивши всілякі алгоритми, що імітують діяльність серця, вчені зможуть робити реальні прогнози.

2. 3. електрокардіограми

Застосований в практичних цілях в 70-х роках 19 століття англійцем А.Уоллером апарат, що записує електричну активність серця, продовжує служити людині і по сей день. Електрокардіограф дозволяє виявити явні відхилення від нормального ритму серця, такі як Інфаркт міокарда, Ійшеміческая хвороба серця, синусова брадикардія, тахекардія, аритмія, синдром слабкості синусового вузла і т.п. Як же відрізнити нормальні знімки ЕКГ від яскраво виражених захворювань ?.

3.Практіческая ЧАСТИНА РОБОТИ

Після того, як мені вдалося поспілкуватися з фахівцем розшифровки кардіограми в нашій лікарні, я дізналася багато корисної інформації для моєї дослідницької роботи.

Графік електрокардіограми є зміненою синусоїдою. І тут важлива кожна нерівність графіка. Кількість інтервалів і зубців, максимум і мінімум стрибків, протяжність періодів: все це грає важливу роль у визначенні діагнозу і правильності лікування. Тому графік ЕКГ завжди друкується на міліметрівці.

При розшифровці результатів ЕКГ проводять вимір тривалості інтервалів між її складовими. Цей розрахунок необхідний для оцінки частоти ритму, де форма і величина зубців в різних відведеннях буде показником характеру ритму, що відбуваються електричних явища в серці і електричної активності окремих ділянок міокарда, тобто, електрокардіограма показує, як працює наше серце в той чи інший період.

Більш сувора розшифровка ЕКГ проводитися за допомогою аналізу і розрахунку площі зубців при використанні спеціальних відведень, проте в практиці, обходяться показником напрямку електричної осі, яка представляє собою сумарний вектор.

Існують різні способи розшифровки ЕКГ. Деякі фахівці грунтуються на формули і розраховують все по ним; так частоту серцевих скорочень можна обчислити за формулою: деR- Rтривалість інтервалу, а деякі користуються готовими даними, що теж не забороняє вітчизняна медицина. На малюнку 2 представлені результати розрахунків ЧСС в залежності від інтервалу.

рис.2

Рис.2. оцінка ЧЧС

Рис.3. види кардіограм

На рис.3 представлені три види кардіограми. Перша кардіограма здорової людини, друга, того ж людини, тільки з синусовою тахікардією, після фізичного навантаження, а третя кардіограма хворої людини з синусовою аритмією.

ВИСНОВОК:

Після виконаної роботи, я вивчила використання тригонометрії в медицині: складання біоритмів людини, кардіології. Вона дає основу для складань формул органів людини, що згодом допоможе лікувати будь-які захворювання. Завдяки цій роботі я з'ясувала основні принципи читання електрокардіограми і самостійно зможу відрізнити нормальний результат обстеження, від яскравих відхилень.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

Електрокардіографія: Навч. посібник. -5-е видання. - М .: МЕДпресс-інформ, 2001. - 312с., Мул.

Інтернет джерела: Анатомія корональної клапана / Професор, доктор мед. наук Ю.П. Островський

Табличні значення кутів

Графіки тригонометричних функцій

косинусоид

синусоїда

Тангенсоіда

Котангенсоіда

Винахід способу вимірювання кутів в градусах відноситься до III - II тисячоліть до н.е.

Давньогрецькі вчені не знали сучасних позначень тригонометричних функцій, замість синуса вони користувалися хордою. Грецьке слова "хорда", означає "тятива лука". Перші таблиці хорд дійшли до нас в книзі Птолемея "Альмагест" (II ст. Н.е.)

В Індії, в трактаті математики Аріабхата, в 499 м зустрічаються функції синус, косинус і сінусверсус. Вони розглядалися тільки для гострого кута.

Нові тригонометричні функції, якими ми користуємося і зараз, були введені вченими країн Середнього і Близького Сходу в IX - X ст. Понтяіе "тангенс" і "котангенс", як і перші таблиці цих нових тригонометричних величин, народилися з вчення про сонячний годинник (гномонікі). Сонячний годинник представляли собою жердина, вертикально встромлений в землю. Час відраховується по довжині і напряму тіні, що відкидається шостому. Циферблатом служила майданчик з кілочками, вбитими в землю.

Всього тригонометричних величин шість: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс.

У Європі першою працею, в якому тригонометрія розглядалася як самостійна гілка математики, була робота німецького астронома і математика Региомонтана "П'ять книг про трикутниках всіх видів", написана в 1462 - 1466 рр. У ній автор систематизував і виклав всі відомі до цього часу знання з тригонометрії.

Найбільш значущі дослідження з тригонометрії пов'язані з іменами Насіреддіна Тусі (1201 - 1274), Джона Валліса (1616 - 1703), Джеймса Грегорі (1638 - 1675), Ісаака Барроу (1630 - 1677), Роджера Котеса (1682 - 1716), Ісаака Ньютона (1643 - 1727), Леонарда Ейлера (1707 - 1783).

МБОУ Цілинна ЗОШ

Доповідь Тригонометрія в реальному житті

Підготувала і провела

учитель математики

кваліфікаційної категорії

Ільїна В. П.

п. Цілинний березня 2014р.

Зміст.

1. Введення .

2.История створення тригонометрії:

Ранні століття.

Стародавня Греція.

Середньовіччя.

Новий час.

З історії розвитку сферичної геометрії.

3.Трігонометрія і реальне життя:

Застосування тригонометрії в навігації.

Тригонометрія в алгебрі.

Тригонометрія в фізиці.

Тригонометрія в медицині та біології.

Тригонометрія в музиці.

Тригонометрія в інформатиці

Тригонометрія в будівництві і геодезії.

4. Висновок .

5. Список літератури.

Вступ

З давніх-давен в математиці встановилася така практика, що при систематичному вивченні математики нам - учням доводиться зустрічатися з тригонометрією тричі. Відповідно її зміст представляється що складається з трьох частин. Ці частини при навчанні відокремлені один від одного за часом і не схожі один на одного як за змістом, вкладаємо в пояснення основних понять, так і по развиваемому апарату і по службових функцій (з додатками).

І справді, вперше тригонометричний матеріал ми зустріли в 8 класі при вивченні теми «Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника». Так ми дізналися, що таке синус, косинус і тангенс, навчилися вирішувати плоскі трикутники.

Однак минув певний час і в 9-му класі ми знову повернулися до тригонометрії. Але ця тригонометрія не схожа на ту, що вивчали раніше. Її співвідношення визначаються тепер за допомогою кола (одиничної півкола), а не прямокутного трикутника. Хоча вони як і раніше визначаються як функції кутів, але ці кути вже довільно великі.

Перейшовши ж в 10 клас, ми знову зіткнулися з тригонометрією і побачили, що вона стала ще складніше, було введено поняття Радіанна міра кута, інакше виглядають і тригонометричні тотожності, і постановка задач, і трактування їх рішень. Вводяться графіки тригонометричних функцій. Нарешті, з'являються тригонометричні рівняння. І весь цей матеріал з'явився перед нами вже як частина алгебри, а не як геометрія. І нам стало дуже цікаво вивчити історію тригонометрії, її застосування в повсякденному житті, тому що використання вчителем математики історичних відомостей не є обов'язковим при викладі матеріалу уроку. Однак, як вказує К. А. Малигін «... екскурси в історичне минуле пожвавлюють урок, дають розрядку розумової напруги, піднімають інтерес до досліджуваного матеріалу і сприяють міцному його засвоєнню». Тим більше що матеріал з історії математики досить великий і цікавий, так як розвиток математики тісно пов'язане з вирішенням нагальних завдань, що виникали в усі періоди існування цивілізації.

Дізнавшись про історичні причини виникнення тригонометрії, і вивчивши, як плоди діяльності великих вчених вплинули на розвиток цієї галузі математики і на вирішення конкретних завдань, у нас, у школярів, підвищується інтерес до досліджуваного предмета, і ми побачимо його практичне значення.

Мета проекту - розвиток інтересу до вивчення теми «Тригонометрія» в курсі алгебри і початки аналізу через призму прикладного значення досліджуваного матеріалу; розширення графічному вигляді, що містять тригонометричні функції; застосування тригонометрії в таких науках, як фізика, біологія і т.п.

Зв'язок тригонометрії з навколишнім світом, значення тригонометрії в рішенні багатьох практичних завдань, графічні можливості тригонометричних функцій дозволяють «матеріалізувати» знання школярів. Це дозволяє краще зрозуміти життєву необхідність знань, придбаних при вивченні тригонометрії, підвищує інтерес до вивчення даної теми.

Завдання дослідження:

1.Рассмотреть історію виникнення і розвитку тригонометрії.

2.Показать на конкретних прикладах практичне використання тригонометрії в різних науках.

3.Раскрить на конкретних прикладах можливості використання тригонометричних функцій, що дозволяють «мало цікаві» функції перетворювати в функції, графіки яких мають досить оригінальний вигляд.

«Одне залишилося ясно, що світ влаштований грізно і чудово».

Н. Рубцов

тригонометрія - це розділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів і довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій. Складно уявити, але з цією наукою ми стикаємося не тільки на уроках математики, а й в нашому повсякденному житті. Ми могли не підозрювати про це, але тригонометрія зустрічається в таких науках, як фізика, біологія, не останню роль вона відіграє і в медицині, і, що найцікавіше, без неї не обійшлося навіть в музиці і архітектурі. Значну роль у розвитку навичок застосування на практиці теоретичних знань, отриманих при вивченні математики, грають завдання з практичним змістом. Кожного вивчає математику, цікавить, як і де застосовуються отримані знання. Відповідь на це питання і дає дана робота.

Історія створення тригонометрії

ранні століття

Від вавілонської математики веде початок звичне нам вимір кутів градусами, хвилинами і секундами (введення цих одиниць в давньогрецьку математику зазвичай приписують, II століття до н. Е.).

Головним досягненням цього періоду стало співвідношення катетів і гіпотенузи в прямокутному трикутнику, пізніше отримало ім'я.

Стародавня Греція

Загальна і логічно зв'язний виклад тригонометричних співвідношень з'явилося в давньогрецької геометрії. Грецькі математики ще не виділяли тригонометрію як окрему науку, для них вона була частиною астрономії.
Основним досягненням античної тригонометричної теорії стало рішення в загальному вигляді завдання «рішення трикутників», тобто знаходження невідомих елементів трикутника, виходячи з трьох заданих його елементів (з яких хоча б один є стороною).

середньовіччя

У IV столітті, після загибелі античної науки, центр розвитку математики перемістився в Індію. Вони змінили деякі концепції тригонометрії, наблизивши їх до сучасних: наприклад, вони першими ввели в експлуатацію косинус.
Першим спеціалізованим трактатом з тригонометрії було твір середньоазіатського вченого (X-XI століття) «Книга ключів науки астрономії» (995-996 роки). Цілий курс тригонометрії містив головну працю Аль-Біруні - «Канон Мас'уда» (книга III). На додаток до таблиць синусів (з кроком 15 ") Аль-Біруні дав таблиці тангенсів (з кроком 1 °).

Після того як арабські трактати були в XII-XIII століттях переведені на латину, багато ідей індійських і перських математиків стали надбанням європейської науки. По всій видимості, перше знайомство європейців з тригонометрією відбулося завдяки зіджі, два переклади якого були виконані в XII столітті.

Першим європейським твором, цілком присвяченим тригонометрії, часто називають «Чотири трактату про прямих і звернених хордах» англійського астронома (близько 1320 г.). Тригонометричні таблиці, частіше перекладні з арабського, але іноді і оригінальні, містяться в творах ряду інших авторів XIV-XV століть. Тоді ж тригонометрія зайняла місце серед університетських курсів.

Новий час

Слово «тригонометрія» вперше зустрічається (1505 г) в заголовку книги німецького теолога і математика Пітіскуса.Проісхожденіе цього слова грецьке: трикутник, міра. Іншими словами, тригонометрія-наука про вимірювання трикутників. Хоча назва виникла порівняно недавно, багато зараховують зараз до тригонометрії поняття і факти були відомі вже дві тисячі років тому.

Тривалу історію має поняття синуса. Фактично різні відносини відрізків трикутника і кола (а по суті, і тригонометричні функції) зустрічаються вже в ӀӀӀ в. до н. е в роботах великих математиків Стародавньої Греції-Евкліда, Архімеда, Аполлонія Пергського. У римський період ці відносини вже досить систематично досліджувалися Менелаем (Ӏ в. До н. Е), хоча і не набули спеціального назви. Сучасний мінус кута, наприклад вивчався як твір полухорд, на яку спирається центральний кут величиною, або як хорда подвоєною дуги.

У наступний період математика довгий час найбільш активно розвивалася індійськими і арабськими вченими. У ӀV- Vст. з'явився, зокрема, вже спеціальний термін в працях по астрономії великого індійського ученого Аріабхати (476-ок. 550), ім'ям якого названий перший індійський супутник Землі.

Пізніше прищепилося більш коротку назву джива. Арабськими математиками в ΙXв. слово джива (або джіба) було замінено на арабське слово джайб (опуклість). При перекладі арабських математичних текстів вXΙΙв. це слово було замінено латинською синус (sinus-ізгіб, кривизна)

Слово косинус набагато молодше. Косинус-це скорочення латинського виразуcomplementsinus, Тобто «додатковий синус» (або інакше «синус додаткової дуги»; згадайтеcosa= sin(90 ° - a)).

Маючи справу з тригонометричними функціями, ми суттєво виходимо за рамки завдання «вимірювання трикутників». З цього відомий математик Ф. Клейн (1849-1925) пропонував вчення про «тригонометричних» функціях називати інакше-гониометрией (кут). Однак ця назва не прищепилося.

Тангенси виникли в зв'язку з рішенням задачі про визначення довжини тіні. Тангенс (а також котангенс, секанс і косеканс) введено вXв. арабським математиком Абу-л-Вафой, який склав і перші таблиці для знаходження тангенсов і котангенсів. Однак ці відкриття довгий час залишалися невідомими європейським вченим, і тангенси були заново відкриті вXΙVв. спочатку англійським вченим Т. Бравердіном, а пізніше німецьким математиком, астрономом Регіомонтаном (1467 г). Назва «тангенс», що походить від латинськогоtanger(Стосуватися), з'явилося в 1583 рTangensперекладається як «що стосується» (згадайте: лінія тангенсів - це дотична до одиничному колі)

сучасні позначенняarcsinі arctgз'являються в 1772 р в роботах віденського математика Шерфера і відомого французького вченого Ж.Л.Лагранжа, хоча дещо раніше їх вже розглядав Я. Бернуллі, який вживав іншу символіку. Але загальноприйнятими ці символи стали лише в кінціXVΙΙΙстоліття. Приставка «арк» походить від латинськогоarcusx, Наприклад -, це кут (а можна сказати, і дуга), синус якого дорівнюєx.

Тривалий час тригонометрія розвивалася як частина геометрії, тобто факти, які ми зараз формулюємо в термінах тригонометричних функцій, формулювалися і доводили за допомогою геометричних понять і тверджень. Мабуть, найбільші стимули до розвитку тригонометрії виникали в зв'язку з вирішенням завдань астрономії, що представляло великий практичний інтерес (наприклад, для вирішення завдань визначення місцезнаходження судна, пророкувань затемнень і т, д)

Астрономів цікавили співвідношення між сторонами і кутами сферичних трикутників, складених з великих кіл, що лежать на сфері. І треба зауважити, що математики давнини вдало справлялися із завданнями, істотно більш важкими, ніж завдання на вирішенні плоских трикутників.

У всякому разі в геометричній формі багато відомих нам формули тригонометрії відкривалися і перевідкривається давньогрецькими, індійськими, арабськими математиками (правда, формули різниці тригонометричних функцій стали відомі тільки вXVΙӀ ст.- їх вивів англійський математик Непер для спрощення обчислень з тригонометричними функціями. А перший малюнок синусоїди з'явився в 1634 р)

Принципове значення мало складання К.Птолемеем першої таблиці синусів (довгий час вона називалася таблицею хорд): з'явилося практичне засіб вирішення ряду прикладних задач, і в першу чергу завдань астрономії.

Маючи справу з готовими таблицями, або користуючись калькулятором, ми часто не замислюємося про те, що був час, коли таблиці ще не були винайдені. Для того щоб скласти їх, потрібно виконати не тільки великий обсяг обчислень, але і придумати спосіб складання таблиць. Таблиці Птолемея точні до п'яти десяткових знаків включно.

Сучасного вигляду тригонометрії надав найбільший математикXVΙӀΙ століття Л. Ейлер (1707-1783), швейцарець за походженням, який довгі роки працював в Росії і був членом Петербурзької Академії наук. Саме Ейлер перший ввів відомі визначення тригонометричних функцій, став розглядати функції довільного кута, отримав формули приведення. Все це мала частка того, що за довге життя встиг зробити Ейлер в математиці: він залишив понад 800 робіт, довів багато що стали класичними теореми, які стосуються найрізноманітнішим областям математики. Але якщо ви намагаєтеся оперувати з тригонометричними функціями в геометричній формі, тобто так, як це робили багато поколінь математиків до Ейлера, то зумієте оцінити заслуги Ейлера в систематизації тригонометрії. Після Ейлера тригонометрія набула нову форму обчислення: різні факти стали доводити шляхом формального застосування формул тригонометрії, докази стали набагато компактніше, простіше.

З історії розвитку сферичної геометрії .

Широко відомо, що евклідова геометрія є однією з найбільш древніх наук .: вже вIIIстолітті до н.е. з'явився класичний працю Евкліда - «Почала». Менш відомо, що сферична геометрія лише трохи молодше. Її перша систематична виклад відноситься доI- IIстоліть. У книзі «Сферика», написаної грецьким математиком Менелаем (Iв.), вивчалися властивості сферичних трикутників; доводилася, зокрема, що сума кутів сферичного трикутника більше 180 градусів. Великий крок вперед зробив інший грецький математик Клавдій Птолемей (IIв.). По суті він перший склав таблиці тригонометричних функцій, ввів стереографической проекцію.

Так само як і геометрія Евкліда, сферична геометрія виникла при вирішенні завдань практичного характеру, і в першу чергу завдань астрономії. Ці завдання були необхідні, наприклад, мандрівникам і мореплавцям, які орієнтувалися по зірках. А оскільки при астрономічних спостереженнях зручно вважати, що і Сонце і Місяць, і зірки рухаються по зображуваної «небесній сфері», то природно, що для вивчення їх руху потрібні були знання про геометрії сфери. Тому не випадково, що найвідоміша робота Птолемея називалася «Велика математична побудова астрономії в 13 книгах».

Найважливіший період історії сферичної тригонометрії пов'язаний з діяльністю вчених Близького Сходу. Індійські вчені успішно вирішували завдання сферичної тригонометрії. Однак метод, описаний Птолемеєм і заснований на теоремі Менелая повного чотирикутника, у них не застосовувався. І в сферичної тригонометрії вони користувалися проектними методами, які відповідали методам з «Аналемма» Птолемея. В результаті ними було отримано набір певних обчислювальних правил, які давали можливість вирішити практично будь-яке завдання сферичної астрономії. З їх допомогою таке завдання зводилася в кінцевому рахунку до порівняння між собою подібних плоских прямокутних трикутників. При рішень нерідко застосовувалися теорія квадратних рівнянь і метод послідовних наближень. Прикладом астрономічної завдання, яке вирішували індійські вчені за допомогою розроблених ним правил, служить завданням, що розглядається в творі «Панга сіддхантіка» Варахаміхіра (V- VI). Вона складається знаходженні висоти Сонця, якщо відомо широта місця, відмінювання Сонця і його годинний кут. В результаті вирішення цього завдання після ряду побудов встановлюється співвідношення, яке рівносильне сучасної теоремі косинусів для сферичного трикутника. Однак і це співвідношення, і інше, еквівалентну теоремі синусів, що не були узагальнені як правила, застосовні до будь-якого сферичному трикутнику.

Серед перших східних вчених, які звернулися до обговорення теоремі Менелая, потрібно назвати братів Бану Мусса -Мухаммеда, Хасана і Ахмада, синів Муси ібн Шакіра, який працював в Багдаді і займався математикою, астрономією і механікою. Але найбільш раннім зі збережених творів про теореми Менелая є «Трактат про фігуру січних» їх учня Сабіт ібн Коррі (836-901)

Трактат Сабіт ібн Коррі дійшов до нас в арабському оригіналі ,. І в латинському перекладіXIIв. Цей переклад Геранд кремонських (1114-1187), отримав широке поширення в Середньовічній Європі.

Історія тригонометрії, як науки про співвідношення між кутами і сторонами трикутника і інших геометричних фігур, охоплює понад два тисячоліття. Більшість таких співвідношень можна виразити за допомогою звичайних алгебраїчних операцій, і тому знадобилося ввести особливі тригонометричні функції, спочатку оформлялися у вигляді числових таблиць.
Історики вважають, що тригонометрію створили древні астрономи, трохи пізніше її стали використовувати в архітектурі. Згодом область застосування тригонометрії постійно розширювалася, в наші дні вона включає практично всі природні науки, техніку і ряд інших областей діяльності.

Прикладні тригонометричні завдання відрізняються великою різноманітністю - наприклад, можуть бути задані вимірні на практиці результати дій над перерахованими величинами (наприклад, сума кутів або ставлення довжин сторін).

Паралельно з розвитком тригонометрії площині греки, під впливом астрономії, далеко просунули сферичну тригонометрію. В «Засадах» Евкліда на цю тему є тільки теорема про ставлення обсягів куль різного діаметра, але потреби астрономії та картографії викликали швидкий розвиток сферичної тригонометрії і суміжних з нею областей - системи небесних координат, теорії картографічних проекцій, технології астрономічних приладів.

курсів.

Тригонометрія і реальне життя

Тригонометричні функції знайшли застосування в математичному аналізі, фізики, інформатики, геодезії, медицині, музиці, геофізики, навігації.

Застосування тригонометрії в навігації

Навігація (це слово походить від латинськогоnavigatio- пливу на судні) - одна з найбільш древніх наук. Найпростіші задачі навігації, такі, наприклад, як визначення найкоротшого маршруту, вибір напрямку руху, встали перед найпершими мореплавцями. В даний час ці ж і інші завдання доводиться вирішувати не тільки морякам, а й льотчикам, і космонавтам. Деякі поняття і завдання навігації розглянемо детальніше.

Завдання. Відомі географічні координати - широта і довгота пунктів А і В земної поверхні:, І,. Потрібно знайти найкоротший відстань між пунктами А і В уздовж земної поверхні (радіус Землі вважається відомим:R= 6371 км)

Рішення. Нагадаємо спочатку, що широтою пункту М земної поверхні називається величина кута, утвореного радіусом ОМ, де О - центр Землі, з площиною екватора: ≤, причому Севр від екватора широта вважається позитивною, а на південь - негативною (рисунок 1)

Довгота пункту М є величина двогранного кута між площинами СОМ і СОН, де С - Північний полюс Землі, а Н - точка, що відповідає грінвічській обсерваторії: ≤ (на схід від Гринвічем меридіана довгота вважається позитивною, на захід - негативною).

Як вже відомо, найкоротша відстань між пунктами А і В земної поверхні-це довжина меншої з дуг великого кола, що з'єднує А і В (таку дугу називають ортодромії - в перекладі з грецького означає «прямий біг»). Тому наше завдання зводиться до визначення довжини сторони АВ сферичного трикутника АВС (С - північний полюс).

Застосовуючи стандартне позначення для елементів трикутника АВС і відповідного тригранного кута ОАВС, з умови задачі знаходимо: α = = -, β = (рис.2).

Кут З також не важко висловити через координати точок А і В. За визначенням ≤, тому або кут С =, якщо ≤, або -, якщо. Знаючи = за допомогою теореми косинусів: = + (-). Знаючи і, отже кут, знаходимо шукане відстань: =.

Тригонометрія в навігації 2.

Для прокладки курсу корабля на карті, виконаної в проекції Герхарда Меркатора (1569г.), Необхідно було визначати широту. При плаванні по Середземному морю в лоціях доXVIIв. широта не вказувалася. Вперше застосував тригонометричні розрахунки в навігації Едмонд Гюнтер (1623).

Тригонометрія допомагає розраховувати вплив вітру на політ літака. Трикутник швидкостей - це трикутник, утворений вектором повітряної швидкості (V), Вектором вітру (W), Вектором шляховий швидкості (Vп ). ПУ - шляховий кут, УВ - кут вітру, КУВ - курсовий кут вітру.

Залежність між елементами навігаційного трикутника швидкостей має вигляд:

V п = V cos УС + W cos УВ; sin УС = * sin УВ, tg УВ =

Навігаційний трикутник швидкостей вирішується за допомогою рахункових пристроїв, на навігаційній лінійці і наближено в розумі.

Тригонометрія в алгебрі.

Ось приклад вирішення складного рівняння за допомогою тригонометричної підстановки.

дано рівняння

нехай , отримаємо

;

звідки: або

з урахуванням обмежень отримаємо:

Тригонометрія в фізиці

Скрізь, де доводиться мати справу з періодичними процесами і коливаннями - будь то акустика, оптика або хитання маятника, ми маємо справу з тригонометричними функціями. Формули коливань:

де A- амплітуда коливання, - кутова частота коливання, початкова фаза коливання

Фаза коливання.

sin α / sin β = n 1 / n 2

де:

n 1 - показник заломлення першого середовища
n 2 - показник заломлення другого середовища

α -кут падіння, β -кут заломлення світла.

Проникнення в верхні шари атмосфери планет заряджених частинок сонячного вітру визначається взаємодією магнітного поля планети з сонячним вітром.

Сила, що діє на рухому в магнітному полі заряджену частинку, називається силою Лоренца. Вона пропорційна заряду частинки і векторному добутку поля і швидкості руху частинки.

В якості практичного прикладу розглянемо фізичну задачу, яка вирішується із застосуванням тригонометрії.

Завдання. На похилій площині, що становить з горизонтом кут 24,5про , Знаходиться тіло масою 90 кг. Знайдіть, з якою силою це тіло тисне на похилу площину (тобто який тиск чинить тіло на цю площину).

Рішення:

Позначивши осі Х і У, почнемо будувати проекції сил на осі, для початку скориставшись цією формулою:

ma = N + mg , Потім дивимося на малюнок,