Історія виникнення тригонометрії. Історія тригонометрії: виникнення і розвиток Історична довідка про розвиток тригонометрії

Потреба у вирішенні трикутників раніше всього виникла в астрономії: і протягом довгого часу тригонометрія розвивалася вивчалася як один з відділів астрономії.

Наскільки відомо: способи вирішення трикутників (сферичних) вперше були письмово викладені грецьким астрономом Гиппархом в середині 2 століття до н.е. Найвищими досягненнями грецька тригонометрія зобов'язана астроному Птолемею (2 століття н.е.), творцеві геоцентричної системи світу, що панувала до Коперника. Грецькі астрономи не знали синусів, косинусів і тангенсів. Замість таблиць цих величин вони вживали таблиці: дозволяють відшукати хорду кола по стягують дузі. Дуги вимірювалися в градусах і хвилинах; хорди теж вимірювалися градусами (один градус становив шістдесяту частина радіуса), хвилинами і секундами. Це шістдесяткова підрозділ греки запозичили у вавилонян.

Значні висоти досягла тригонометрія і у індійських середньовічних астрономів. Головним досягненням індійських астрономів стала заміна хорд синусами, що дозволило вводити різні функції, пов'язані зі сторонами і кутами прямокутного трикутника. Таким чином, в Індії було покладено початок тригонометрії як вчення про тригонометричні величинах.

Тригонометрія необхідна для астрономічних розрахунків, які оформляються у вигляді таблиць. Перша таблиця синусів є в «Сурья-сіддханти» і у Аріабхати. Вона приведена через 3,4,5. Пізніше вчені склали більш докладні таблиці: наприклад Бхаськара призводить таблиць у синусів через 1.

Південноіндійських математики в 16 столітті домоглися великих успіхів в області підсумовування нескінченних числових рядів. Мабуть, вони займалися цими дослідженнями, коли шукали способи обчислення більш точних значень числа П. Нілаканта словесно призводить правила розкладання арктангенса в нескінченний статечної ряд. А в анонімному трактаті «Каранападдхаті» ( «Техніка обчислень») дані правила розкладання синуса і косинуса в нескінченні статечні ряди. Потрібно сказати, що в Європі до подібних результатів підійшли лише в 17-18 століттях. Так, ряди для синуса і косинуса вивів И.Ньютон близько 1666 року, а ряд арктангенса був знайдений Дж. Грегорі в 1671 р і Г. В. Лейбніц 1673 р

Тригонометрія - математична дисципліна вивчає залежність між сторонами і кутами трикутника. Трігонометрія- слово грецьке і в буквальному перекладі означає вимір трикутників.

Виникнення тригонометрії пов'язано з землемереніем, астрономією і будівельною справою. Тригонометрія виникла з практичних потреб людини. З її допомогою можна визначити відстань до недоступних предметів і, взагалі суттєво спрощувати процес геодезичної зйомки місцевості для складання географічних карт.

Вперше способи вирішення трикутників, засновані на залежностях між сторонами і кутами трикутника, були знайдені давньогрецькими астрономами Гиппархом (2 ст. До н. Е.) І Клавдій Птолемей (2 ст. Н. Е.). Птолемей вивів співвідношення між хордами в колі, що призводять до сучасним формулами для синусів половинного кута. Тривалу історію має поняття синус. Фактично різні відносини відрізків трикутника і кола зустрічаються вже в III столітті до н.е. в роботах великих математиків Стародавньої Греції Евкліда, Архімеда, Аполонія Пергського. У римський період ці відносини досить систематично досліджувалися Менелаем (I століття н.е.), хоча і не набули спеціального назви.

Сучасний синус, наприклад, вивчався як полухорда, на яку спирається центральний кут величиною, або як хорда подвоєною дуги. Слово косинус набагато молодше. Косинус це скорочення латинського виразу completely sinus, т. Е. "Додатковий синус".

Тангенси виникли в зв'язку з рішенням задачі про визначення довжини тіні. Тангенс (а також котангенс) введено в X столітті арабським математиком Абуль Вафой, який склав і перші таблиці для знаходження тангенсов і котангенсів.

Подальший розвиток тригонометрія отримала в працях видатних астрономів Миколи Коперника (1473-1543) творця геліоцентричної системи світу, Тихо Браге (1546-1601) і Йогана Кеплера (1571-1630), а також в роботах математика Франсуа Вієта (1540-1603), який повністю вирішив задачу про визначення всіх елементів плоского або сферичного трикутника за трьома даними. Аналітична теорія тригонометричних функцій в основному була створена видатним математиком XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783) членом Петербурзької Академії наук. Саме Ейлер першим ввів відомі визначення тригонометричних функцій, став розглядати функції довільного кута, отримав формули приведення.

Таким чином, тригонометрія, виникла як наука про рішення трикутників, згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функція

1.1 Етапи розвитку тригонометрії як науки

Тригонометрія є одним з наймолодших відділів елементарної математики, які отримали остаточне оформлення лише в XVIII в., Хоча окремі ідеї її відносяться до глибокої давнини, до античного світу і до математичного творчості індусів (К. Птолемей, II ст., Аль Баттани, IX в ., та ін.). Європейські математики досягли високого ступеня досконалості в обчисленні таблиць натуральних синусів і тангенсів (Регіомонтанус, XV в., Ретікус і Пітіскус, XVI в., Та ін.).

Сама назва «тригонометрія» грецького походження, що означає «вимір трикутників»: (трігонон) - трикутник, (метрейн) - вимір.

Наукова розробка тригонометрії здійснена Л. Ейлером в його праці «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Він створив тригонометрію як науку про функції, дав їй аналітичне виклад, вивів всю сукупність формул з небагатьох основних формул. Позначення сторін малими буквами і протилежних кутів - відповідними великими буквами дозволило йому спростити всі формули, внести в них ясність і стрункість. Ейлера належить думка розглядати тригонометричні функції як відносини відповідних ліній до радіуса кола, т. Е. Як числа, причому радіус кола як «повний синус» він прийняв за одиницю. Ейлер отримав ряд нових співвідношень, встановив зв'язок тригонометричних функцій з показовими, дав правило знаків функцій для всіх чвертей, отримав узагальнену формулу приведення і звільнив тригонометрію від багатьох помилок, які допускалися майже у всіх європейських підручниках математики.

Твір Л. Ейлера в подальшому послужило фундаментом для підручників тригонометрії. Одне з перших посібників, «Скорочена математика» С. Румовского (1760), відділ «Початкові підстави плоскою тригонометрії», починає виклад наступним чином: «Тригонометрія плоска є знання через Арифметичні викладки сисківать трикутники, які геометрія креслення знаходить». Все виклад зводиться до вирішення трикутників (найпростіші випадки), обчислення проводяться досить складним шляхом, вчення про функції відсутній.

Таким чином, тригонометрія виникла на геометричній основі, мала геометричний мову і застосовувалася до вирішення геометричних задач. Розвиток алгебраїчної символіки дозволило записувати тригонометричні співвідношення у вигляді формул; застосування негативних чисел дозволило розглядати спрямовані кути і дуги і поширити поняття тригонометричних ліній (певних відрізків в колі) для будь-яких кутів. У цей період створилася база для вивчення тригонометричних функцій як функцій числового аргументу, основа аналітичної теорії тригонометричних (кругових) функцій. Аналітичний апарат, що дозволяє обчислювати значення тригонометричних функцій з будь-яким ступенем точності, був розроблений Ньютоном.

Сучасного вигляду тригонометрія отримала в працях великого вченого, члена Російської академії наук Л. Ейлера (1707 - 1783). Ейлер став розглядати значення тригонометричних функцій як числа - величини тригонометричних ліній в колі, радіус якої прийнято за одиницю ( «тригонометричний коло» або «одиничне коло»). Ейлер дав остаточне рішення про знаках тригонометричних функцій в різних чвертях, вивів всі тригонометричні формули з декількох основних, встановив кілька невідомих до нього формул, ввів однакові позначення. Саме в його працях вперше зустрічаються записи. Він також відкрив зв'язок між тригонометричними і показовою функціями від комплексного аргументу. На підставі робіт Л. Ейлера були складені підручники тригонометрії, що викладаються її в суворій науковій послідовності.

Аналітичне (яке залежить від геометрії) побудова теорії тригонометричних функцій, розпочате Ейлером, отримало завершення в працях великого російського вченого Н.И. Лобачевського.

Сучасна точка зору на тригонометричні функції як на функції числового аргументу багато в чому обумовлена ​​розвитком фізики, механіки, техніки. Ці функції лягли в основу математичного апарату, за допомогою якого вивчаються різні періодичні процеси: коливальні рухи, поширення хвиль, руху механізмів, коливання змінного електричного струму. Як показав Ж. Фур'є (1768 - 1830), всяке періодичне рух з будь-яким ступенем точності можна представити у вигляді суми найпростіших синусоїдальних (гармонічних) коливань. Якщо на початку розвитку тригонометрії співвідношення лише виражало залежність між площами квадратів, побудованих на сторонах змінного прямокутного трикутника з гіпотенузою рівній 1, то в подальшому це відношення стало відображати також складання двох коливальних рухів з яка відбувається при цьому інтерференцією.

Таким чином, на початкових стадіях свого розвитку тригонометрія служила засобом вирішення обчислювальних геометричних задач. Її змістом вважалося обчислення елементів найпростіших геометричних фігур, тобто трикутників. Але в сучасній тригонометрії самостійне і настільки ж важливе значення має вивчення властивостей тригонометричних функцій. Цей період розвитку тригонометрії був підготовлений всім ходом розвитку механіки коливальних рухів, фізики звукових, світлових і електромагнітних хвиль.

У цей період дані узагальнення багатьом термінам тригонометрії і, зокрема, виведені співвідношення для, де n - натуральне число, і ін. Функції та розглядаються тепер як суми статечних рядів:

Майже також викладено і підручник В. Нікітіна і П. Суворова.
Цілком науковий виклад тригонометрії дає акад. М. Є. Головін у своєму підручнику «Плоска і сферична тригонометрія з алгебраїчними доказами», 1789. У цій книзі можна знайти всі найважливіші формули тригонометрії майже в тому вигляді, в якому прийнято викладати їх в XIX в. (За винятком зворотних тригонометричних функцій). Автор не знайшов за потрібне захаращувати виклад введенням секанса і косеканс, так як ці функції в рідкісних випадках застосовуються на практиці.
У 1804 р виходить підручник Н. Фусса. Книга призначена для гімназій. «Плоска тригонометрія, - говорить автор, - є наука, що має предметом з трьох даних і числами зображених частин прямолінійного трикутника визначати три інші його частини». Підручник складається з 4 рівних частин. Загальні поняття, рішення трикутників, додаток тригонометрії до практичної геометрії та геодезії та, нарешті, теорема додавання. Підручник Н. Фусса відмежовується від сферичної тригонометрії.

Крок вперед робить академік М. В. Остроградський в 1851 р У своєму конспекті з тригонометрії для керівництва у військово-навчальних закладах він виступає як прихильник визначення тригонометричних функцій, на першому етапі їх вивчення, як відносин сторін у прямокутному трикутнику з подальшим узагальненням їх визначення і поширенням його на кути будь-якої величини.

Комплект під редакцією А.Г. Мордкович, хоча залишати без уваги інші підручники теж не варто. § 3. Методика викладання теми «Тригонометричні функції» в курсі алгебри і початків аналізу В вивченні тригонометричних функцій в школі можна виділити два основних етапи: ü Початковий ознайомлення з тригонометричними функціями ...

Учнів, шкільну документацію, зробити висновки про ступінь засвоєння даного поняття. Підвести підсумок про дослідження особливостей математичного мислення і процесу формування поняття комплексного числа. Опис методів. Діагностичні: I етап. Бесіда проводилася з учителем математики, яка в 10? Класі викладає алгебру і геометрію. Бесіда відбулася після закінчення деякого часу з початку ...

Муніципальне бюджетне загальноосвітній заклад

середня загальноосвітня школа №10

з поглибленим вивченням окремих предметів

Проект виконав:

Павлов Роман

учень 10б класу

керівник:

учитель математики

А

м Єлець, 2012

1. Введення.

3. Світ тригонометрії.

· Тригонометрия у фізиці.

· Тригонометрія в планіметрії.

· Тригонометрія в мистецтві і архітектурі.

· Тригонометрія в медицині та біології.

3.2 Графічні уявлення про перетворення «мало цікавих» тригонометричних функцій в оригінальні криві (за допомогою комп'ютерної програми «Функції та графіки»).

· Криві в полярних координатах (Розетки).

· Криві в декартових координатах (Криві Лиссажу).

· Математичні орнаменти.

4. Висновок.

5. Список літератури.

Мета проекту - розвиток інтересу до вивчення теми «Тригонометрія» в курсі алгебри і початки аналізу через призму прикладного значення досліджуваного матеріалу; розширення графічному вигляді, що містять тригонометричні функції; застосування тригонометрії в таких науках, як фізика, біологія. Не останню роль вона відіграє і в медицині, і, що найцікавіше, без неї не обійшлося навіть в музиці і архітектурі.

Об'єкт дослідження - тригонометрія

Предмет дослідження - прикладна спрямованість тригонометрії; графіки деяких функцій, з використанням тригонометричних формул.

Завдання дослідження:

1.Рассмотреть історію виникнення і розвитку тригонометрії.

2.Показать на конкретних прикладах практичне використання тригонометрії в різних науках ..

3.Раскрить на конкретних прикладах можливості використання тригонометричних функцій, що дозволяють «мало цікаві» функції перетворювати в функції, графіки яких мають досить оригінальний вигляд.

Гіпотеза - припущення: Зв'язок тригонометрії з навколишнім світом, значення тригонометрії в рішенні багатьох практичних завдань, графічні можливості тригонометричних функцій дозволяють «матеріалізувати» знання школярів. Це дозволяє краще зрозуміти життєву необхідність знань, придбаних при вивченні тригонометрії, підвищує інтерес до вивчення даної теми.

Методи дослідження - аналіз математичної літератури з даної теми; відбір конкретних завдань прикладного характеру з даної теми; комп'ютерне моделювання на основі комп'ютерної програми. Відкрита математика «Функції та графіки» (Физикон).

1. Введення

«Одне залишилося ясно, що світ влаштований

грізно і чудово ».

Н. Рубцов

Тригонометрія - це розділ математики, в якому вивчаються залежності між величинами кутів і довжинами сторін трикутників, а також алгебраїчні тотожності тригонометричних функцій. Складно уявити, але з цією наукою ми стикаємося не тільки на уроках математики, а й в нашому повсякденному житті. Ви могли не підозрювати про це, але тригонометрія зустрічається в таких науках, як фізика, біологія, не останню роль вона відіграє і в медицині, і, що найцікавіше, без неї не обійшлося навіть в музиці і архітектурі. Значну роль у розвитку навичок застосування на практиці теоретичних знань, отриманих при вивченні математики, грають завдання з практичним змістом. Кожного вивчає математику, цікавить як і де застосовуються отримані знання. Відповідь на це питання і дає дана робота.

2.История розвитку тригонометрії.

слово тригонометрія склалося з двох грецьких слів: τρίγονον (трігонон-трикутник) і і μετρειν (метрейн - вимірювати) в буквальному перекладі означає вимір трикутників.

Саме це завдання - вимір трикутників або, як прийнято тепер говорити, рішення трикутників, т. Е. Визначення всіх сторін і кутів трикутника за трьома його відомих елементів (стороні і двом кутам, двом сторонам і куту або трьом сторонам) - з найдавніших часів становила основу практичних застосувань тригонометрії.

Як і будь-яка інша наука, тригонометрія виросла з людської практики, в процесі вирішення конкретних практичних завдань. Перші етапи розвитку тригонометрії тісно пов'язані з розвитком астрономії. Великий вплив на розвиток астрономії і тісно пов'язаної з нею тригонометрії надали потреби розвивається мореплавання, для якого потрібне вміння правильно визначати курс корабля у відкритому морі за матеріальним становищем небесних світил. Значну роль у розвитку тригонометрії зіграла потреба в складанні географічних карт і тісно пов'язана з цим необхідність правильного визначення великих відстаней на земній поверхні.

Фундаментальне значення для розвитку тригонометрії в епоху її зародження мали роботи давньогрецького астронома Гиппарха(Середина II століття до н. Е.). Тригонометрія як наука, в сучасному розумінні цього слова не було не тільки у Гіппарха, а й у інших вчених давнини, так як вони ще не мали поняття про функції кутів і навіть не ставили в загальному вигляді питання про залежність між кутами і сторонами трикутника. Але по суті вони, користуючись відомими їм засобами елементарної геометрії, вирішували ті завдання, якими займається тригонометрія. При цьому основним засобом отримання потрібних результатів було вміння обчислювати довжини кругових хорд на підставі відомих співвідношень між сторонами правильних трьох-, чотирьох-, п'яти - і десятіугольніка і радіусом описаного кола.

Гіппарх склав перші таблиці хорд, т. Е. Таблиці, які виражають довжину хорди для різних центральних кутів в колі постійного радіусу. Це були, по суті, таблиці подвійних синусів половини центрального кута. Втім, оригінальні таблиці Гіппарха (як і майже все ним написане) до нас не дійшли, і ми можемо скласти собі про них уявлення головним чином з твору «Велика побудова» або (в арабському перекладі) «Альмагест» знаменитого астронома Клавдія Птолемея, Що жив в середині II століття н. е.

Птолемей ділив окружність на 360 градусів, а діаметр - на 120 частин. Він вважав радіус рівним 60 частин (60 ¢¢). Кожну з частин він ділив на 60 ¢, кожну хвилину на 60 ¢¢, секунду на 60 терцій (60 ¢¢¢) і т. Д., Застосовуючи вказане поділ, Птолемей висловлював сторону правильного вписаного шестикутника або хорду, тиснучу дугу в 60 ° у вигляді 60 частин радіусу (60ч), а сторону вписаного квадрата або хорду в 90 ° прирівнював числу 84ч51 ¢ 10².Хорду в 120 ° - сторону вписаного рівностороннього трикутника - він висловлював числом 103ч55 ¢ 23² і т. д. Для прямокутного трикутника з гіпотенузою , що дорівнює діаметру кола, він записував на підставі теореми Піфагора: (хорда a) 2 + (хорда | 180-a |) 2 = (діаметру) 2, що відповідає сучасній формулі sin2a + cos2a = 1.

«Альмагест» містить таблицю хорд через півградуса від 0 ° до 180 °, яка з нашої сучасної точки зору являє таблицю синусів для кутів від 0 ° до 90 ° через кожні чверть градуса.

В основі всіх тригонометричних обчислень у греків лежала відома ще Гиппарху теорема Птолемея: «Прямокутник, побудований на діагоналях вписаного в коло чотирикутника, дорівнює сумі прямокутників, побудованих на протилежних сторонах» (Т. Е. Твір діагоналей дорівнює сумі творів протилежних сторін). Користуючись цією теоремою, греки вміли (за допомогою теореми Піфагора) по хордам двох кутів обчислити хорду суми (або хорду різниці) цих кутів або хорду половини даного кута, т. Е. Вміли отримувати результати, які ми отримуємо тепер за формулами синуса суми (або різниці) двох кутів або половини кута.

Нові кроки в розвитку тригонометрії пов'язані з розвитком математичної культури народів Індії, Середньої Азії і Європи (V-XII).

Важливий крок вперед в період з V по XII століття був зроблений індусами, які на відміну від греків стали розглядати і вживати в обчисленнях вже не цілу хорду ММ ¢ (див. Креслення) відповідного центрального кута, а тільки її половину МР, т. Е. то, що ми тепер називаємо лінією синуса a- половини центрального кута.

Поряд з синусом індуси ввели в тригонометрію косинус, точніше кажучи, стали вживати в своїх обчисленнях лінію косинуса. (Сам термін косинус з'явився значно пізніше в роботах європейських вчених вперше в кінці XVI ст. З так званого «синуса доповнення», т. Е. Синуса кута, що доповнює даний кут до 90 °. «Синус доповнення» або (по латині) sinus complementi стали скорочено записувати як sinus co або co-sinus).

Їм були відомі також співвідношення cosa = sin (90 ° -a) і sin2a + cos2a = r2, а також формули для синуса суми і різниці двох кутів.

Наступний етап у розвитку тригонометрії пов'язаний з країнами

Середній Азії, Близького Сходу, Закавказзя (VII-XV ст.)

Розвиваючись у тісному зв'язку з астрономією і географією, - середньоазіатська математика мала яскраво виражений «обчислювальний характер» і була спрямована на вирішення прикладних завдань вимірювальної геометрії і тригонометрії, причому тригонометрія сформувалася в особливу математичну дисципліну в значній мірі саме в працях середньоазіатських вчених. З числа зроблених ними найважливіших успіхів слід в першу чергу відзначити введення всіх шести тригонометричних ліній: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканс, з яких лише перші дві були відомі грекам і індусам.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif "width =" 41 "height =" 44 "> = a × ctgj жердини певної довжини (а = 12) для j = 1 °, 2 °, 3 ° ......

Абу-ль-Вафаз Хоросана, що жив в Х столітті (940-998), склав аналогічну «таблицю тангенсів», т. е. обчислив довжину тіні b = a × = a × tgj, що відкидається горизонтальним шостому певної довжини (а = 60) на вертикальну стіну ( см. креслення).

Слід зазначити, що самі терміни «тангенс» (в буквальному перекладі - «що стосується») і «котангенс» відбулися з латинської мови і з'явилися в Європі значно пізніше (XVI-XVII ст.). Середньоазіатські же вчені називали відповідні лінії «тінями»: котангенс- «першої тінню», тангенс - «другий тінню».

Абу-ль-Вафа дав абсолютно точне геометричне визначення лінії тангенса в тригонометричному колі і приєднав до ліній тангенса і котангенс лінії секанса і косеканс. Він же висловив (словесно) алгебраїчні залежності між усіма тригонометричними функціями і, зокрема, для випадку, коли радіус кола дорівнює одиниці. Цей надзвичайно важливий випадок був розглянутий європейськими вченими на 300 років пізніше. Нарешті, Абу-ль-Вафа склав таблицю синусів через кожні 10 ¢.

У працях середньоазіатських вчених тригонометрія перетворилася з науки, яка обслуговує астрономію, в особливу математичну дисципліну, що представляє самостійний інтерес.

Тригонометрія відділяється від астрономії і стає самостійною наукою. Це відділення зазвичай пов'язують з ім'ям азербайджанського математика Насіреддіна Тусі ().

Вперше в європейській науці струнке виклад тригонометрії дано в книзі «Про трикутниках різних родів», написаної Йоганном Мюллером, Більш відомим в математиці під ім'ям Региомонтана ().Він узагальнює в ній методи вирішення прямокутних трикутників і дає таблиці синусів з точністю до 0,0000001. При цьому чудово те, що він вважав радіус кола равнимілі, т. Е. Висловив значення тригонометричних функцій в десяткових дробах, перейшовши фактично від шестидесяткова системи числення до десяткової.

Англійський учений XIV століття Брадвардін ()перший в Європі ввів в тригонометричні обчислення котангенс під назвою «прямої тіні» і тангенс під назвою «зворотної тіні».

На порозі XVII ст. У розвиток тригонометрії намічається нове напрямок аналітичне. Якщо до цього головною метою тригонометрії вважалося рішення трикутників, обчислення елементів геометричних фігур і вчення про тригонометричні функції будувалося на геометричній основі, то в XVII-XIX ст. тригонометрія поступово стає однією з глав математичного аналізу. Про властивості періодичності тригонометричних функцій знав ще Виет, Перші математичні дослідження якого ставилися до тригонометрії.

Швейцарський математик Йоганн Бернуллі ()вже застосовував символи тригонометричних функцій.

У першій половині XIX ст. французький вчений Ж. Фур'єдовів, що будь-яке періодичне рух може бути представлено у вигляді суми простих гармонійних коливань.

Величезне значення в історії тригонометрії мала творчість знаменитого петербурзького академіка Леонарда Ейлера (),він додав всієї тригонометрії сучасний вигляд.

У своїй праці «Введення в аналіз» (1748 г.) Ейлер розробив тригонометрію як науку про тригонометричні функції, дав їй аналітичне виклад, вивівши всю сукупність тригонометричних формул з небагатьох основних формул.

Ейлера належить остаточне вирішення питання про знаках тригонометричних функцій у всіх чвертях кола, висновок формул приведення для загальних випадків.

Ввівши в математику нові функції - тригонометричні, стало доцільним поставити питання про розкладання цих функцій в нескінченний ряд. Виявляється, такі розкладання можливі:

Sinx = x-https: //pandia.ru/text/78/114/images/image008_62.gif "width =" 224 "height =" 47 ">

Ці ряди дозволяють значно полегшити складання таблиць тригонометричних величин і для знаходження їх з будь-якого ступеня точності.

Аналітичне побудова теорії тригонометричних функцій, розпочате Ейлером, було завершено в роботах , Гаусса, Коші, Фур'є та інших.

«Геометричні розгляду, - пише Лобачевський, - необхідні до тих пір на початку тригонометрії, поки вони не стануть до відкриття відмітної властивості тригонометричних функцій ... Звідси робиться тригонометрія абсолютно незалежною від геометрії і має всі переваги аналізу».

У наш час тригонометрія більше не розглядається як самостійна гілка математики. Найважливіша її частина-вчення про тригонометричні функції - є частиною більш загального, побудованого з єдиної точки зору вчення про функції, які вивчаються в математичному аналізі; інша ж частина - рішення трикутників - розглядається як глава геометрії.

3.Мір тригонометрії.

3.1 Застосування тригонометрії в різних науках.

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики та інженерної справи.

Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Слід зазначити застосування тригонометрії в наступних областях: техніка навігації, теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД), комп'ютерна томографія, фармацевтика, хімія, теорія чисел, сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, багато розділів фізики, топографія, геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

Тригонометрія в фізиці.

Гармонійні коливання.

Коли будь-яка точка рухається по прямій лінії поперемінно то в одну, то в іншу сторону, то кажуть, що точка здійснює коливання.

Одним з найпростіших видів коливань є рух по осі проекції точки М, яка рівномірно обертається по колу. Закон цих коливань має вигляд x =Rcos (https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif "width =" 19 "height =" 41 src = ">.

Зазвичай замість цієї частоти розглядають циклічну частотуw =,показує кутову швидкість обертання, виражену в радіанах в секунду. У цих позначеннях маємо: x =Rcos (wt +a). (2)

число aназивають початковою фазою коливання.

Вивчення коливань всякого роду важливо вже хоча б тому, що з коливальними рухами або хвилями ми стикаємося досить часто в навколишньому світі і з великим успіхом використовуємо їх (звукові хвилі, електромагнітні хвилі).

Механічні коливання.

Механічними коливаннями називають руху тіл, що повторюються точно (або приблизно) через однакові проміжки часу. Прикладами простих коливальних систем можуть служити вантаж на пружині або маятник. Візьмемо, наприклад, гирю, підвішену на пружині (див. Рис.) І штовхни її вниз. Гиря почне коливатися вниз і вверх..gif "align =" left "width =" 132 height = 155 "height =" 155 ">. Gif" width = "72" height = "59 src =">. Jpg "align = "left" width = "202 height = 146" height = "146"> Графік коливання (2) виходить з графіка коливання (1) зрушенням вліво

на. Число a називають початковою фазою.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif "width =" 29 "height =" 45 src = ">), де l-довжина маятника, а j0-початковий кут відхилення. Чим довше маятник, тим повільніше він гойдається. (Це добре видно на ріс.1-7 прилож. VIII). На ріс.8-16, додатки VIII добре видно, як зміна початкового відхилення впливає на амплітуду коливань маятника, період при цьому не змінюється. Вимірюючи період коливання маятника відомої довжини, можна обчислювати прискорення земного тяжіння g в різних точках земної поверхні.

Розряд конденсатора.

Не тільки багато механічні коливання відбуваються за синусоїдальним законом. І в електричних ланцюгах виникають синусоїдальні коливання. Так в ланцюзі, зображеної в правому верхньому кутку моделі, заряд на обкладинках конденсатора змінюється за законом q = CU + (q0 - CU) cos ωt, де С- ємність конденсатора, U-напруга на джерелі струму, L індуктивність котушки, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg "align =" left "width =" 348 "height =" 253 src = "> Завдяки моделі конденсатора, наявної в програмі« Функції та графіки »можна встановлювати параметри коливального контуру і будувати, відповідні графіки g (t) і I (t). на графіках 1-4 добре видно як впливає напруга на зміну сили струму і заряду конденсатора, при цьому видно, що при позитивному напрузі заряд також набуває додатних значень. на ріс.5-8 додатка IX показано, що при зміні ємності конденсатора (при зміні індуктивності котушки на рис. 9-14 додатка IX) і збереженні незмінними інших параметрів змінюється період коливань, т. е. змінюється частота коливань сили струму в ланцюзі і змінюється частота заряду конденсатора .. (див. доданий ие IX).

Як з'єднати дві труби.

Наведені приклади можуть створити враження, що синусоїди зустрічаються тільки в зв'язку з коливаннями. Однак це не так. Наприклад, синусоїди використовуються при з'єднанні двох циліндричних труб під кутом один до одного. Щоб з'єднати дві труби таким чином, треба зрізати їх навскоси.

Якщо розгорнути зрізану навскоси трубу, то вона виявиться обмеженою зверху синусоїдою. У цьому можна переконатися, обернувши свічку папером, зрізавши її навскоси і розгорнувши папір. Тому, щоб отримати рівний зріз труби, можна спочатку обрізати металевий лист зверху по синусоїді і згорнути його в трубу.

Теорія веселки.

Вперше теорія веселки була дана в 1637 році Рене Декартом. Він пояснив веселку, як явище, пов'язане з відображенням і заломленням світла в дощових краплях.

Радуга виникає через те, що сонячне світло відчуває переломлення в крапельках води, зважених в повітрі за законом заломлення:

де n1 = 1, n2≈1,33 - відповідно показники заломлення повітря і води, α - кут падіння, а β - кут заломлення світла.

Північне сяйво

Проникнення в верхні шари атмосфери планет заряджених частинок сонячного вітру визначається взаємодією магнітного поля планети з сонячним вітром.

Сила, що діє на рухому в магнітному полі заряджену частинку називається, силою Лоренца.Вона пропорційна заряду частинки і векторному добутку поля і швидкості руху частинки

Завдання з тригонометрії з практичним змістом.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif "width =" 25 "height =" 41 ">.

Визначення коефіцієнта тертя.

Тіло ваги Р належить на похилу площину з кутом нахилу a. Тіло під дією його власної ваги пройшло прискорено шлях S в t секунд. Визначити коефіцієнт тертя k.

Сила тиску тіла на похилу площину = kPcosa.

Сила, яка тягне тіло вниз дорівнює F = Psina-kPcosa = P (sina-kcosa). (1)

Якщо тіло рухається по похилій площині, то прискорення а = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif "width =" 20 "height =" 41 "> == gF; отже,. ( 2)

З рівності (1) і (2) випливає, що g (sina-kcosa) = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image032_21.gif "width =" 129 "height =" 48 "> = gtga-.

Тригонометрія в планіметрії.

Основні формули при вирішенні завдань з геометрії із застосуванням тригонометрії:

sin²α = 1 / (1 + ctg²α) = tg²α / (1 + tg²α); cos²α = 1 / (1 + tg²α) = ctg²α / (1 + ctg²α);

sin (α ± β) = sinα * cosβ ± cosα * sinβ; cos (α ± β) = cosα * cos + sinα * sinβ.

Співвідношення сторін і кутів в прямокутному трикутнику:

1) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку іншого катета на тангенс протилежного кута.

2) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус прилеглого кута.

3) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на косинус прилеглого кута.

4) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку іншого катета на котангенс прилеглого кута.

Задача1:На бічних сторонах АВ і СD равнобокой трапеціїABCD взяті точки М іN таким чином, що прямаMN паралельна основам трапеції. Відомо, що в кожну з утворених малих трапеційMBCN іAMND можна вписати коло, причому радіуси цих кіл рівніr іR відповідно. знайти підставиAD іBC.

дано: ABCD-трапеція, AB = CD, MєAB, NєCD, ​​MN || AD, в трапеції MBCN і AMND можна вписати коло з радіусом r і R відповідно.

знайти: AD і BC.

Рішення:

Нехай O1 і O2 - центри вписаних в малі трапеції кіл. Пряма О1К || CD.

В Δ O1O2K cosα = O2K / O1O2 = (R-r) / (R + r).

Т. к. ΔO2FD прямокутний, то O2DF = α / 2 => FD = R * ctg (α / 2). Т. к. AD = 2DF = 2R * ctg (α / 2),

аналогічно BC = 2r * tg (α / 2).

cos α = (1-tg²α / 2) / (1 + tg² (α / 2)) => (Rr) / (R + r) = (1-tg² (α / 2)) / (1 + tg² (α / 2)) => (1-r / R) / (1 + r / R) = (1-tg²α / 2) / (1 + tg² (α / 2)) => tg (α / 2) = √ (r / R) => ctg (α / 2) = √ (R / r), тоді AD = 2R * ctg (α / 2), BC = 2r * tg (α / 2), знаходимо відповідь.

відповідь : AD = 2R√ (R / r), BC = 2r√ (r / R).

Задача2:У трикутнику ABC відомі боку b, c і кут між медіаною і висотою, що виходять із вершини A. Обчислити площу трикутника ABC.

дано: Δ ABC, AD-висота, AE-медіана, DAE = α, AB = c, AC = b.

знайти: SΔABC.

Рішення:

Нехай CE = EB = x, AE = y, AED = γ. По теоремі косинусів в ΔAEC b² = x² + y²-2xy * cosγ (1); а в ΔACE по теоремі косинусів c² = x² + y² + 2xy * cosγ (2). Віднімаючи з 1 рівності 2 отримаємо c²-b² = 4xy * cosγ (3).

Т. К. SΔABC = 2SΔACE = xy * sinγ (4), тоді розділивши 3 рівність на 4 отримаємо: (c²-b²) / S = 4 * ctgγ, але ctgγ = tgαб, отже SΔABC = ( с?-b²) / 4 * tgα.

Відповідь: (с²- b² ) / 4 * tg α .

Тригонометрія в мистецтві і архітектурі.

Архітектура не єдина сфера науки, в якій використовуються тригонометричні формули. Більшість композиційних рішень і побудов малюнків проходило саме за допомогою геометрії. Але теоретичні дані мало що значать. Хочу навести приклад на побудову однієї скульптури французького майстра Золотого століття мистецтва.

Пропорційне співвідношення в побудові статуї було ідеально. Однак при піднятті статуї на високий п'єдестал, вона виглядала потворною. Скульптором не було враховано, що в перспективі до горизонту зменшуються багато деталей і при погляді знизу вгору вже не створюється враження її ідеальності. Велося безліч розрахунків, щоб фігура з великої висоти виглядала пропорційно. В основному вони були засновані на методі візування, тобто приблизного вимірювання, на око. Однак коефіцієнт різниці тих чи інших пропорцій дозволили зробити фігуру більш наближеною до ідеалу. Таким чином, знаючи приблизну відстань від статуї до точки зору, а саме від верху статуї до очей людини і висоту статуї, можна розрахувати синус кута падіння погляду за допомогою таблиці (те ж саме ми можемо зробити і з нижньою точкою зору), тим самим знайдемо точку зору (рис.1)

Ситуація змінюється (рис2), так як статую піднімають на висоту АС і НС збільшуються, можна розрахувати значення косинуса кута С, по таблиці знайдемо кут падіння погляду. У процесі можна розрахувати АН, а також синус кута С, що дозволить перевірити результати за допомогою основного тригонометричного тотожності cos 2a +sin 2a = 1.

Порівнявши вимірювання АН в першому і в другому випадки можна знайти коефіцієнт пропорційності. Згодом ми отримаємо креслення, а потім скульптуру, при піднятті якої візуально фігура буде наближена до ідеалу.

https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif "width =" 162 "height =" 101 ">. gif" width = "108 height = 132" height = "132">

Тригонометрія в медицині та біології.

модель біоритмів

Модель біоритмів можна побудувати за допомогою тригонометричних функцій. Для побудови моделі біоритмів необхідно ввести дату народження людини, дату відліку (день, місяць, рік) і тривалість прогнозу (к-ть днів).

Рух риб у воді відбувається за законом синуса або косинуса, якщо зафіксувати точку на хвості, а потім розглянути траєкторію руху. При плаванні тіло риби приймає форму кривої, яка нагадує графік функції y = tgx.

Формула серця

В результаті дослідження, проведеного студентом іранського університету Шираз Вахідом-Резой Аббасі,медики вперше отримали можливість упорядкувати інформацію, що відноситься до електричної активності серця або, іншими словами, електрокардіографії.
Формула, що отримала назву тегеранській, була представлена ​​широкій науковій громадськості на 14-й конференції географічної медицини і потім - на 28-й конференції з питань застосування комп'ютерної техніки в кардіології, що відбулася в Нідерландах. Ця формула є комплексним алгебраїчно-тригонометрическое рівність, що складається з 8 виразів, 32 коефіцієнтів і 33 основних параметрів, включаючи кілька додаткових для розрахунків у випадках аритмії. Як стверджують медики, ця формула в значній мірі полегшує процес опису основних параметрів діяльності серця, прискорюючи, тим самим, постановку діагнозу і початок власне лікування.

Тригонометрія допомагає нашому мозку визначати відстані до об'єктів.

Американські вчені стверджують, що мозок оцінює відстань до об'єктів, вимірюючи кут між площиною землі і площиною зору. Строго кажучи, ідея "вимірювання кутів" не є новою. Ще художники Стародавнього Китаю малювали віддалені об'єкти вище в поле зору, кілька нехтуючи законами перспективи. Сформулював теорію визначення відстані за оцінкою кутів арабський учений XI століття Альхазен. Після тривалого забуття в середині минулого століття ідею реанімував психолог Джеймс Гібсон (James Gibson), який будував свої висновки на основі досвіду роботи з пілотами військової авіації. Однак після того про теорію

знову забули.

Результати нового дослідження, як можна припустити, виявляться небезінтересні інженерам, що конструюють системи навігації для роботів, а також фахівцям, які працюють над створенням максимально реалістичних віртуальних моделей. Можливі й додатки в області медицини, при реабілітації пацієнтів з ушкодженнями певних областей мозку.

3.2 Графічні уявлення про перетворення «мало цікавих» тригонометричних функцій в оригінальні криві.

Криві в полярних координатах.

с. 16іс. 19 Розетки.

У полярних координатах вибираються одиничний інтервал e,полюс О і полярна вісь Ох. Положення будь-якої точки М визначається полярним радіусом ОМ і полярним кутом j, утвореним променем ОМ і променем Ох. Число r, що виражає довжину ОМ через е(ОМ = rе) і чисельне значення кута j, вираженого в градусах або в радіанах, називаються полярними координатами точки М.

Для будь-якої точки, відмінною від точки О, можна вважати 0≤j<2p и r>0. однак при побудові кривих, відповідних рівнянь виду r = f (j), змінному j природно надавати будь-які значення (в тому числі і негативні, і перевищують 2p), а r може виявитися як позитивним, так і негативним.

Для того щоб знайти точку (j, r), проведемо з точки Про промінь, який утворює з віссю Ох кут j, і відкладемо на ньому (при r> 0) або на його продовження в протилежну сторону (при r> 0) відрізок ½ r ½е.

Все значно спроститься, якщо попередньо побудувати координатну сітку, що складається з концентричних кіл з радіусами е, 2е, 3е і т. Д. (З центром в полюсі О) і променів, для яких j = 0 °, 10 °, 20 °, ... , 340 °, 350 °; ці промені будуть придатні і при j<0°, и при j>360 °; наприклад, при j = 740 ° і при j = -340 ° ми потрапимо на промінь, для якого j = 20 °.

Дослідженню даних графіків допомагає комп'ютерна програма «Функції та графіки». Користуючись, можливостями цієї програми досліджуємо деякі цікаві графіки тригонометричних функцій.

1 .Розглянемо криві, задані рівняннями:r =a +sin3j

I. r = sin3j (трилисник ) (Рис.1)

II. r = 1/2 + sin3j (рис.2), III. r = 1 + sin3j (рис.3), r = 3/2 + sin3j (рис.4).

У кривої IV найменше значення r = 0,5 і пелюстки мають незакінчений вигляд. Таким чином при а> 1 пелюстки трилисника мають незакінчений вигляд.

2.Рассмотрім кривіпри а = 0; 1/2; 1; 3/2

При а = 0 (рис.1), при а = 1/2 (рис.2), при а = 1 (рис.3) пелюстки мають закінчений вигляд, при а = 3/2 буде п'ять незакінчених пелюсток., (Рис .4).

3.В загальному випадку у кривоїr = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif "width =" 45 height = 41 "height =" 41 ">), т. к. в цьому секторі 0 ° ≤≤180 ° ..gif "width =" 20 "height =" 41 ">. gif" width = "16" height = "41"> для одного пелюстки потрібно «сектор», перевищує 360 °.

На ріс1-4 показаний вид пелюсток при = https: //pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif "width =" 16 "height =" 41 src = ">. Gif" width = "16" height = "41 src =">.

4.Уравненія, знайдені німецьким математиком-натуралістом Хабеніхтадля геометричних форм, що зустрічаються в світі рослин. Наприклад, рівнянням r = 4 (1 + cos3j) і r = 4 (1 + cos3j) + 4sin23j відповідають криві, зображені на рис.1.2.

Криві в декартових координатах.

Криві Лиссажу.

Багато цікавих кривих можна побудувати і в декартових координатах. Особливо цікаво виглядають криві, рівняння яких дано в параметричному вигляді:

Де t-допоміжне змінне (параметр). Наприклад, розглянемо криві Лиссажу, що характеризуються в загальному випадку рівняннями:

Якщо за параметр t взяти час, то фігури Ліссажу будуть являти собою результат складання двох гармонійних коливальних рухів, що здійснюються у взаємно перпендикулярних напрямках. У загальному випадку крива розташовується усередині прямокутника зі сторонами 2а і2в.

Розглянемо це на наступних прикладах

I. x = sin3t; y = sin 5t (рис.1)

II. x = sin 3t; y = cos 5t (рис.2)

III. x = sin 3t; y = sin 4t. (рис.3)

Криві можуть бути замкнутими і незамкненими.

Наприклад, заміна рівнянь I рівняннями: x = sin 3t; y = sin5 (t + 3) перетворює незамкнуту криву в криву замкнуту. (рис.4)

Цікаві і своєрідні лінії, відповідні рівнянням виду

у= Arcsin (sin k (x-a)).

З рівняння y = arcsin (sinx) слід:

1) і 2) siny = sinx.

При цим двом умовам задовольняє функція у = х. Графіком її в інтервалі (-; https: //pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif "width =" 77 "height =" 41 "> матимемо у = p-х, так як sin ( px) = sinx і в цьому інтервалі

. Тут графік зобразиться відрізком ВС.

Так як sinx -періодична функція з періодом 2p, то ламана АВС, побудована в інтервалі (,) повториться на інших ділянках.

Рівняння y = arcsin (sinkx) буде відповідати ламана лінія з періодом https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif "width =" 79 height = 48 "height =" 48 ">

задовольняють координати точок, які лежать одночасно вище синусоїди (для них у> sinx) і нижче кривої y = -sinx, т. е. «область рішень» системи буде складатися з зафарбованих на рис.1 областей.

2.Рассмотрім нерівності

1) (Y-sinx) (y + sinx)<0.

Для вирішення даного нерівності спочатку будуємо графіки функцій: y = sinx; y = -sinx.

Потім зафарбовує області, де y> sinx і одночасно y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

Цьому нерівності будуть задовольняти області, зафарбовані на рис.2

2) (y2-arcsin2 (sinx)) (y2-arcsin2 (sin (x +)))<0

Перейдемо до наступного нерівності:

(Y-arcsin (sinx)) (y + arcsin (sinx)) (y-arcsin (sin (x +))) (Y + arcsin (sin (x +))}<0

Для вирішення даного нерівності спочатку будуємо графіки функцій: y = ± arcsin (sinx); y = ± arcsin (sin (x + )) .

Складемо таблицю можливих варіантів рішень.

Потім розглядаємо і зафарбовує вирішення наступних систем.

) | і | y |> | sin (x-) |.

2) Другий множник менше нуля, т..gif "width =" 17 "height =" 41 ">) |.

3) Третій множник менше нуля, тобто | Y |<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>| Sinx | і | y |> | sin (x + Навчальні дисципліни "href =" / text / category / uchebnie_distciplini / "rel =" bookmark "> навчальних дисциплінах, техніці, в побуті.

Використання моделює програми «Функції та графіки» значно розширило можливості проведення досліджень, дозволило матеріалізувати знання при розгляді додатків тригонометрії в фізиці. Завдяки цій програмі проведені лабораторні комп'ютерні дослідження механічних коливань на прикладі коливань маятника, розглянуті коливання в електричному ланцюзі. Використання комп'ютерної програми дало змогу дослідити цікаві математичні криві, що задаються за допомогою тригонометричних рівнянь і побудовою графіків в полярних і декартових координатах. Графічне рішення тригонометричних нерівностей призвело до розгляду цікавих математичних орнаментів.

5.Спісок використаної літератури.

1.., Атанасов математичних задач з практичним змістом: Кн. для учітеля.-М.: Просвещение, с.

2. .Віленкін в природі і техніці: Кн. для позакласного читання IX-X кл.-М.: Просвещение, 5с (Світ знань).

3. Доморяд ігри та розваги. Держ. изд. фіз-мат. лит. М, 9стр.

4. .Кожуров тригонометрії для технікумів. Держ. изд. техніко-теоретичної літ. М., 1956

5. Кн. для позакласного читання з математики в старших класах. Держ. навчально-пед. изд. Мін. Просвіта. РФ, М., с.

6., Тараканова тригонометрії. 10 кл ..- М.: Дрофа, с.

7. Про тригонометрії і не тільки про неї: посібник для учнів 9-11 кл .. -М.: Просвещение, 1996-80с.

8. Шапіро завдань з практичним змістом в викладанні математики. Кн. для учітеля.-М.: Просвещение, 1990-96с.

Тригонометрія виникла і розвивалася в давнину як один з розділів астрономії, як її обчислювальний апарат; відповідає практичним потребам людини. Саме астрономія визначила той факт, що сферична тригонометрія виникла раніше плоскої.

Деякі тригонометричні відомості були відомі древнім вавилонянам і єгиптянам, але основи цієї науки закладені в Древній Греції, Давньогрецькі астрономи успішно вирішували окремі питання з тригонометрії, пов'язані з астрономією. Однак вони розглядали не лінії синуса, косинуса і ін., А хорди. Роль лінії синусів кута її у них виконувала хорда, стягуюча дугу, рівну 2а.

Грецький астроном Гіппарх в II в. до н. е. склав таблицю числових значень хорд в залежності від величин стягуються ними дуг. Більш повні відомості з тригонометрії містяться у відомому «Альмагесте» Птолемея.

Птолемей делілокружностьна360 градусів, а діаметр - на 120 частин. Він вважав радіус рівним 60 частин (60Ч). Кожну, з частин він ділив на 60 ", а кожну хвилину на 60", секунду - на 60 терцій (60 "") і т. Д. Говорячи іншими словами, він скористався Шістдесяткова системою числення, цілком ймовірно, запозиченої їм від вавилонян. Застосовуючи вказане поділ, Птолемей висловлював сторону правильного вписаного шестикутника або хорду, тиснучу дугу в 60 ° в вигляді 60 частин радіуса (60 Ч), а сторону вписаного квадрата або хорду в 90 ° прирівнював числу 84 Ч 5110 ". Хорду в 120 ° - сторону вписаного рівностороннього трикутника - він висловлював числом 103 Ч 55 "23" і т.д.

Застосувавши відомі з геометрії теореми, вчений знайшов залежності, які рівнозначні наступним сучасним формулами за умови:

Скориставшись цими співвідношеннями і вираженими в частинах радіуса значеннями хорд 60 ° "і 72 °, він вирахував хорду, тиснучу дугу в 6 °, потім 3 °; 1,5 ° і, нарешті, --0,75 °. (Значення хорди в Г він висловлював наближено.)

Зроблені розрахунки дозволили Птолемею скласти таблицю, яка містила хорди від 0 до 180 °, обчислені з точністю до 1 "радіуса.

Ця таблиця, що збереглася до нашого часу, рівнозначна таблиці синусів від 0 до 90 ° з кроком 0, 25 ° з п'ятьма вірними десятковими знаками.

Назви ліній синуса і косинуса вперше були введені індійськими вченими. Вони ж склали перші таблиці синусів, хоча і менш точні, ніж Птолемеєві. В Індії і починається по суті вчення про тригонометричні величинах, назване пізніше гониометрией (від «гоніа», - кут і «Мехр» - вимірюю).

Подальший розвиток вчення про тригонометричні величинах отримало в IX - XV ст. в країнах Середнього і Близького Сходу в працях ряду математиків, які не тільки скористалися існуючими в той час досягненнями в цій галузі, а й зробили свій значний внесок в науку.

Відомий Мухаммад ібн Муса ал-Хорезмі (IX ст.) Склав таблиці синусів і котангенсів. Ал-Хабаш або (Ахмед ібн Абдаллах ал-Марвазі) обчислив таблиці для тангенса, котангенса і косеканс.

Важливе значення в розвитку тригонометрії мали праці ал-Баттани (бл. 850--929) і Абу-л-Вафи ал-Бузджані (940--998). Останній вивів теорему синусів сферичної тригонометрії, обчислив для синусів таблицю з інтервалом в 15 ", значення в якій наведено з точністю до 8-го знаку після коми, знайшов відрізки, відповідні секансу і косеканс.

Абу Райхан Мухаммад ібн Ахмад-ал-Берун (по іншій транскрипції Біруні (973--1048)) узагальнив і при цьому уточнив результати, яких досягли його попередники в області тригонометрії. У праці «Канон Мас" уда »він виклав всі відомі на той час положення з тригонометрії і суттєво доповнив їх. Важливе нововведення, зроблене Абу-л-Вафой, підтвердив і ал-Берун. Замість поділу радіусу на частини, зробленого Птолемей, вони брали одиничний радіус. Ал-Беруни докладно пояснив причину цієї заміни, показавши, що всі обчислення з одиничним радіусом значно простіше.

Насир ад-Дін Мухаммад ат-Тусі (1201--1274) в «Трактаті про повну четирехсторонников» вперше виклав тригонометричні відомості як самостійний відділ математики, а не придаток до астрономії. Його трактат згодом справив великий вплив на роботи Региомонтана (1436--1476).

У першій половині XV ст. Джемшид ібн Масуд ал-Каші обчислив з великою точністю тригонометричні таблиці з кроком в. Г, які протягом 250 років залишалися неперевершеними.

В Європі XII - XV ст., Після того як були переведені з арабської та грецької мов на латинський деякі класичні математичні та астрономічні твори, розвиток тригонометрії тривало. При вирішенні плоских трикутників широко застосовувалася теорема синусів, знову відкрита жили в Південній Франції Львом Герсонід (1288--1344), тригонометрія якого була в 1342 р переведена на латинську мову. Найвиднішим європейським представником цієї епохи в області тригонометрії був Региомонтан. Його великі таблиці синусів через Г з точністю до 7-ї значущої цифри і його майстерно викладений тригонометричний працю «П'ять книг про трикутниках всіх видів» мали велике значення для подальшого розвитку, тригонометрії в XVI - XVII ст.

На порозі XVII ст. в розвиток тригонометрії намічається новий напрямок - аналітичне. Якщо до цього головною метою тригонометрії вважалося рішення трикутників, обчислення елементів геометричних фігур і вчення про тригонометричні функції будувалося на геометричній основі, то в XVII - XIX ст. тригонометрія поступово стає однією з глав математичного аналізу. Вона знаходить широке застосування в механіці, фізиці і техніці, особливо при вивченні коливальних рухів та інших періодичних процесів. Про властивості періодичності тригонометричних функцій знав ще Виет, перші математичні дослідження якого ставилися до тригонометрії. Швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1642--1727) вже застосовував символи тригонометричних функцій. І якщо розвиток алгебраїчної символіки, запровадження негативних чисел і спрямованих відрізків сприяли розширенню поняття кута і дуги, то розвиток вчення про коливальних рухах, про звукових, світлових і електромагнітних хвилях привело до того, що основним змістом тригонометрії стало вивчення і опис коливальних процесів. З фізики відомо, що рівняння гармонійного коливання (наприклад, коливання маятника, змінного електричного струму) має вигляд:

Графіками гармонійних коливань є синусоїди, тому у фізиці і техніці самі гармонійні коливання часто називають синусоїдальними коливаннями.

У першій половині XIX ст. французький вчений Ж. Фур'є довів, що будь-яке періодичне рух може бути представлено (з будь-яким ступенем точності) у вигляді суми простих гармонійних коливань.

Розширення уявлень про тригонометричні функції призвело до обґрунтування їх на новій, аналітичної бази: тригонометричні функції визначаються незалежно від геометрії за допомогою статечних рядів і інших понять математичного аналізу.

Розвитку аналітичної теорії тригонометричних функцій сприяли І. Ньютон і Л. Ейлер. Основоположником цієї теорії слід вважати Л. Ейлера. Він додав всієї тригонометрії сучасний вигляд. Подальший розвиток теорії було продовжено в XIX в. М. І. Лобачевського і іншими вченими. У наш час тригонометрія більше не розглядається як самостійна гілка математики. Найважливіша її частина - вчення про тригонометричні функції, - є частиною більш загального, побудованого з єдиної точки зору вчення про функції, які вивчаються в математичному аналізі; інша ж частина - решеніе.треугольніков - розглядається як глава геометрії (плоскою і сферичною).

Історія тригонометрії

Тригонометрія - слово грецьке і в буквальному перекладі означає вимір трикутників ( - трикутник, а - вимірюю).

В даному випадку вимір трикутників слід розуміти як рішення трикутників, тобто визначення сторін, кутів і інших елементів трикутника, якщо дано деякі з них. Велика кількість практичних завдань, а також завдань планіметрії, стереометрії, астрономії та інших приводяться до задачі розв'язання трикутників.

Виникнення тригонометрії пов'язано з землемереніем, астрономією і будівельною справою.

Хоча назва науки виникло порівняно недавно, багато зараховують зараз до тригонометрії поняття і факти були відомі ще дві тисячі років тому.

Вперше способи вирішення трикутників, засновані на залежностях між сторонами і кутами трикутника, були знайдені давньогрецькими астрономами Гиппархом (2 ст. До н. Е.) І Клавдій Птолемей (2 ст. Н. Е.). Пізніше залежності між відносинами сторін трикутника і його кутами почали називати тригонометричними функціями.

Значний внесок у розвиток тригонометрії внесли арабські вчені Аль-Батанов (850-929) і Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), який склав таблиці синусів і тангенсів через 10’ з точністю до 1/60 4 . Теорему синусів уже знали індійський вчений Бхаскара (р. 1114, рік смерті невідомий) і азербайджанський астроном і математик Насиреддин Тусі Мухамед (1201-1274). Крім того, Насиреддин Тусі в своїй роботі «Трактат про повний четирехсторонников» виклав плоску і сферичну тригонометрію як самостійну дисципліну.

Тривалу історію має поняття синус. Фактично різні відносини відрізків трикутника і кола (а по суті, і тригонометричні функції) зустрічаються вже вIIIстолітті до н.е. в роботах великих математиків Стародавньої Греції - Евкліда, Архімеда, Аполонія Пергського. У римський період ці відносини досить систематично досліджувалися Менелаем (Iстоліття н.е.), хоча і не набули спеціального назви. Сучасний синус , наприклад, вивчався як полухорда, на яку спирається центральний кут величиною , або як хорда подвоєною дуги.

 М

А '

Мал. 1

В IV- Vстоліттях з'явився вже спеціальний термін в працях по астрономії великого індійського ученого Аріабхати, ім'ям якого названий перший індійський супутник Землі. Відрізок АМ (рис. 1) він назвав ардхаджіва (ардха - половина, джива - тятива лука, яку нагадує хорда). Пізніше з'явилося більше коротка назва джива. Арабськими математиками вIXстолітті це слово було замінено на арабське слово джайб (опуклість). При перекладі арабських математичних текстів в столітті воно було замінено латинською синус (sinus- вигин, кривизна).

Слово косинус набагато молодше. Косинус - це скорочення латинського виразуcompletelysinus, Т. Е. "Додатковий синус" (або інакше "синус додаткової дуги";cos = sin(90  -  )).

Тангенси виникли в зв'язку з рішенням задачі про визначення довжини тіні. Тангенс (а також котангенс) введено вXстолітті арабським математиком Абу-ль-Вафой, який склав і перші таблиці для знаходження тангенсов і котангенсів. Однак ці відкриття довгий час залишалися невідомими європейським вченим, і тангенси були заново відкриті лише вXIVстолітті німецьким математиком, астрономом Регімонтаном (1467 г.). Він довів теорему тангенсів. Региомонтан склав також докладні тригонометричні таблиці; завдяки його працям плоска і сферична тригонометрія стала самостійною дисципліною і в Європі.

Назва «тангенс», що походить від латинськогоtanger(Стосуватися), з'явилося в 1583 рTangensперекладається як «що стосується» (лінія тангенсів - дотична до одиничному колі).

Подальший розвиток тригонометрія отримала в працях видатних астрономів Миколи Коперника (1473-1543) - творця геліоцентричної системи світу, Тихо Браге (1546-1601) і Йогана Кеплера (1571-1630), а також в роботах математика Франсуа Вієта (1540-1603), який повністю вирішив задачу про визначення всіх елементів плоского або сферичного трикутника за трьома даними.

Довгий час тригонометрія носила чисто геометричний характер, т. Е. Факти, які ми зараз формулюємо в термінах тригонометричних функцій, формулювалися і доводили за допомогою геометричних понять і тверджень. Такою вона була ще в середні століття, хоча іноді в ній використовувалися і аналітичні методи, особливо після появи логарифмів. Мабуть, найбільші стимули до розвитку тригонометрії виникали в зв'язку з вирішенням завдань астрономії, що представляло великий практичний інтерес (наприклад, для вирішення завдань визначення місцезнаходження судна, передбачення затемнення і т. Д.). Астрономів цікавили співвідношення між сторонами і кутами сферичних трикутників. І треба зауважити, що математики давнини вдало справлялися з поставленими завданнями.

Починаючи з XVIIв., тригонометричні функції почали застосовувати до вирішення рівнянь, задач механіки, оптики, електрики, радіотехніки, для опису коливальних процесів, поширення хвиль, руху різних механізмів, для вивчення змінного електричного струму і т. д. Тому тригонометричні функції всебічно і глибоко досліджувалися, і набули важливого значення для всієї математики.

Аналітична теорія тригонометричних функцій в основному була створена видатним математикомXVIIIстолітті Леонардом Ейлером (1707-1783) членом Петербурзької Академії наук. Величезна наукова спадщина Ейлера включає блискучі результати, які стосуються математичного аналізу, геометрії, теорії чисел, механіці і іншим додаткам математики. Саме Ейлер першим ввів відомі визначення тригонометричних функцій, став розглядати функції довільного кута, отримав формули приведення. Після Ейлера тригонометрія набула форм обчислення: різні факти стали доводитися шляхом формального застосування формул тригонометрії, докази стали набагато компактніше простіше,

Таким чином, тригонометрія, виникла як наука про рішення трикутників, згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.

Пізніше частина тригонометрії, яка вивчає властивості тригонометричних функцій і залежності між ними, почали називати гониометрией (в перекладі - наука про вимірювання кутів, від грецького  - кут, - вимірюю). Термін гоніометрія останнім часом практично не вживається.